【題目】如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影為，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，且滿足.

（1）若點(diǎn)坐標(biāo)是，求線段中點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求面積的最小值及此時(shí)直線的方程.

【答案】（1）；（2）最小值是16，此時(shí)直線的方程是或.

【解析】

（1）設(shè)，，,則，由題意得，直線：，與拋物線方程聯(lián)立，則可得的值，再根據(jù)，均在拋物線上，代入并作差，可得的中點(diǎn)坐標(biāo)與斜率的關(guān)系，再利用，求得線段中點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）將直線的方程用表示出來(lái)，并與拋物線方程聯(lián)立，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出，利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出點(diǎn)到直線的距離為，運(yùn)用，結(jié)合均值不等式可求得面積的最小值及此時(shí)直線的方程.

解：（1）設(shè)，，,則，由題意得，

直線：，又，得，則，

又，得，

得，又得，即

解得，即，

由，得，，

故，，線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（2）由（1）可知，，

設(shè)直線方程為，即

由得，所以

點(diǎn)到直線的距離是

所以

而

等號(hào)成立當(dāng)且，解得.

此時(shí)，或，.

因此面積的最小值是16，

此時(shí)直線的方程是或.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）求證：時(shí)，.

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【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)直角坐標(biāo)為，直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求的值.

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【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)滿足以為直徑的圓過(guò)橢圓的上頂點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線過(guò)右焦點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)使得為定值？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)

（1）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某企業(yè)為確定下一年投入某種產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)用，需了解年研發(fā)費(fèi)用（單位：千萬(wàn)元）對(duì)年銷售量（單位：千萬(wàn)件）的影響，統(tǒng)計(jì)了近10年投入的年研發(fā)費(fèi)用與年銷售量 的數(shù)據(jù)，得到散點(diǎn)圖如圖所示：

（1）利用散點(diǎn)圖判斷，和（其中為大于0的常數(shù)）哪一個(gè)更適合作為年研發(fā)費(fèi)用和年銷售量的回歸方程類型（只要給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）.

（2）對(duì)數(shù)據(jù)作出如下處理：令，，得到相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表：

根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程；

（3）已知企業(yè)年利潤(rùn)（單位：千萬(wàn)元）與的關(guān)系為（其中），根據(jù)（2）的結(jié)果，要使得該企業(yè)下一年的年利潤(rùn)最大，預(yù)計(jì)下一年應(yīng)投入多少研發(fā)費(fèi)用？

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四面體中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，是直角三角形，，.

（1）證明：平面平面；

（2）若過(guò)的平面交的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.

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【題目】雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)P為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，且△APF1周長(zhǎng)的最小值為6，則雙曲線的離心率為（　�。�

A.B.C.2D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，直線與拋物線（常數(shù)）相交于不同的兩點(diǎn)、，且（為定值），線段的中點(diǎn)為，與直線平行的切線的切點(diǎn)為（不與拋物線對(duì)稱軸平行或重合且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線稱為拋物線的切線，這個(gè)公共點(diǎn)為切點(diǎn)）．

（1）用、表示出點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明垂直于軸；

（2）求的面積，證明的面積與、無(wú)關(guān)，只與有關(guān)；

（3）小張所在的興趣小組完成上面兩個(gè)小題后，小張連、，再作與、平行的切線，切點(diǎn)分別為、，小張馬上寫出了、的面積，由此小張求出了直線與拋物線圍成的面積，你認(rèn)為小張能做到嗎？請(qǐng)你說(shuō)出理由．

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