Question

【題目】設(shè)函數(shù)，．

（Ⅰ）若，證明函數(shù)有唯一的極小值點(diǎn)；

（Ⅱ）設(shè)且，記函數(shù)的最大值為M，求使得的a的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）正整數(shù)a的最小值為3

【解析】

（Ⅰ）設(shè)，得出的單調(diào)性，再依據(jù)零點(diǎn)存在性定理得出結(jié)論．

（Ⅱ）由題得，設(shè)，則，

則在上為單調(diào)遞減函數(shù)，從而得出在上為單調(diào)遞減函數(shù)，且

，則，所以，存在唯一的，使得，進(jìn)而可得在處取得最大值，，所以，從而得出答案．

（Ⅰ）∵，

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

且，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，取，則，

依據(jù)零點(diǎn)存在性定理，知存在唯一的，使得，

且時(shí)，，遞減，

且時(shí)，，遞增，

故為函數(shù)唯一的極小值點(diǎn)．

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，

所以，

設(shè)，則，

則在上為單調(diào)遞減函數(shù)，

取，則，

取，則，

所以，存在唯一的，使得，即，

且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

故函數(shù)在處取得最大值，

此時(shí)，由得，

，

由兩邊取對(duì)數(shù)，得

則，

由已知，，

故正整數(shù)a的最小值為3．