Question

已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）=x²+2ax+b（其中a，b∈R）
（Ⅰ）求函數(shù)|f（x）|的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）令t=a²-b．若存在實(shí)數(shù)m，使得|f(m)|≤

1

4

與|f(m+1)|≤

1

4

同時(shí)成立，求t的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）=（x+a）²-a²+b開口向上，但a²-b的正負(fù)不定，所以在取絕對(duì)值時(shí)要分類討論．在每一種情況下分別求|f（x）|的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）存在實(shí)數(shù)m，使得|f(m)|≤

1

4

與|f(m+1)|≤

1

4

同時(shí)成立，即為兩變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都小于等于

1

4

的兩變量之間間隔不超過1，故須對(duì)a²-b和-

1

4

，

1

4

的大小分情況討論，求出a²-b的取值范圍，進(jìn)而求得t的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+2ax+b=（x+a）²-（a²-b）
∴①當(dāng)a²-b≤0時(shí)，單調(diào)區(qū)間為：（-∞，-a]上為減，[-a，+∞）上為增；（2分）
②當(dāng)a²-b＞0時(shí)，單調(diào)區(qū)間為：(-∞，-a-

a2-b

)減，
(-a-

a2-b

，-a)增，(-a，-a+

a2-b

)減，(-a+

a2-b

，+∞)增（5分）
（Ⅱ）因?yàn)椋喝舸嬖趯?shí)數(shù)m，使得|f(m)|≤

1

4

與|f(m+1)|≤

1

4

同時(shí)成立，即為兩變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都小于等于

1

4

的兩變量之間間隔不超過1，故須對(duì)a²-b和-

1

4

，

1

4

的大小分情況討論
①當(dāng)-

1

4

≤a2-b≤0時(shí)，由方程x2+2ax+b=

1

4

，解得x1，2=-a±

a2-b+ 1 4

，
此時(shí)|x2-x1|=2

a2-b+ 1 4

≤1，不滿足．（8分）
②當(dāng)

1

4

＞a2-b＞0時(shí)，由方程x2+2ax+b=

1

4

，解得x1，2=-a±

a2-b+ 1 4

此時(shí)|x2-x1|=2

a2-b+ 1 4

∈(1，

2

)，滿足題意．（11分）
③當(dāng)a2-b≥

1

4

時(shí)，由方程x2+2ax+b=

1

4

，方程x2+2ax+b=-

1

4

和解得x1，2=-a±

a2-b+ 1 4

，x3，4=-a±

a2-b- 1 4

此時(shí)由于|x2-x1|=2

a2-b+ 1 4

∈[

2

，+∞)，|x3-x1|=

a2-b+ 1 4

-

a2-b- 1 4

=

1 2

a2-b+ 1 4 + a2-b- 1 4

≤

2

4

＜1
所以只要|x3-x4|=2

a2-b- 1 4

≤1即可，此時(shí)a2-b≤

1

2

，綜上所述t的最大值為

1

2

．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)學(xué)上的分類討論思想．分類討論目的是，分解問題難度，化整為零，各個(gè)擊破．