Question

①若函數(shù)f（x）=x³-3x+m在[0，2]上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

-2≤m≤2

②若函數(shù)f（x）=x³-3x+m在[0，2]上存在兩個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

0≤m＜2

．

Answer 1

分析：①利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及極大值、極小值、f（0）、f（2），結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象，先求出函數(shù)f（x）=x³-3x+m在[0，2]上不存在零點(diǎn)時(shí)m的范圍，然后求其補(bǔ)集即可；
②結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象，由函數(shù)f（x）=x³-3x+m在[0，2]上存在兩個不同零點(diǎn)，可對f（0）、f（1）、f（2）的符號進(jìn)行限制，由此可求出m的取值范圍．

解答：解：①f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
當(dāng)x＜-1或x＞1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，
所以f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上單調(diào)遞增；在（-1，1）上單調(diào)遞減．
所以當(dāng)x=-1時(shí)f（x）取得極大值f（-1）=2+m，當(dāng)x=1時(shí)f（x）取得極小值f（1）=-2+m，f（0）=m，f（2）=2+m．
若函數(shù)f（x）=x³-3x+m在[0，2]上不存在零點(diǎn)，則有f（1）＞0或

f(0)＜0 f(2)＜0

即-2+m＞0或

m＜0 2+m＜0

，解得m＞2或m＜-2，
所以當(dāng)函數(shù)f（x）=x³-3x+m在[0，2]上存在零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-2，2]．
故答案為：-2≤m≤2．
（2）若函數(shù)f（x）=x³-3x+m在[0，2]上存在兩個不同的零點(diǎn)，由（1）知，

f(0)≥0 f(1)＜0 f(2)≥0

，即

m≥0 -2+m＜0 2+m≥0

，解得0≤m＜2．
故答案為：0≤m＜2．

點(diǎn)評：本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查分析問題解決問題的能力以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．