Question

設(shè)函數(shù)
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，；
（Ⅲ）證明：當(dāng)，且…，，時(shí)，
(1)…
(2) ….

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)解析（Ⅲ）見(jiàn)解析

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和證明不等是的綜合運(yùn)用。
（1）先求解函數(shù)的定義域和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定單調(diào)區(qū)間。
（2）運(yùn)用第一問(wèn)中的結(jié)論。得到不等式的放縮得到證明。
（3）結(jié)合第一問(wèn)和第二問(wèn)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步放縮法得到結(jié)論。
解：（Ⅰ）由，有，………………… 2分
當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減；
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. …… 4分
（Ⅱ）設(shè)，
則.………………6分
由（Ⅰ）知，在單調(diào)遞減，
∴，即是減函數(shù)，
而，所以，得，
得，故.………………… 8分
（Ⅲ）（1）由…，及柯西不等式可知，
…
……

，                           
所以，……………………11分
（2）由（1）得：.  
又，由（Ⅱ）可知，
即，即.
則.
故………………14分