Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= x3﹣ax2+（a2﹣1）x+b（a，b∈R），其圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x+y﹣3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并求出f（x）在區(qū)間[﹣2，4]上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=x2﹣2ax+a2﹣1，

∵（1，f（1））在x+y﹣3=0上，

∴f（1）=2，

∵（1，2）在y=f（x）上，

∴2= ﹣a+a2﹣1+b，

又f′（1）=﹣1，

∴a2﹣2a+1=0，

解得a=1，b=

（2）解：∵f（x）= x3﹣x2+ ，

∴f′（x）=x2﹣2x，

由f′（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的極值點，所以有

x	（﹣∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣∞，0）和（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2）．

∵f（0）= ，f（2）= ，f（﹣2）=﹣4，f（4）=8，

∴在區(qū)間[﹣2，4]上的最大值為8

【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而得到切線的斜率，建立等式關(guān)系，再根據(jù)切點在函數(shù)圖象建立等式關(guān)系，解方程組即可求出a和b，從而得到函數(shù)f（x）的解析式；（2）先求出f′（x）=0的值，根據(jù)極值與最值的求解方法，將f（x）的各極值與其端點的函數(shù)值比較，其中最大的一個就是最大值．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．