【題目】如圖,四邊形是正方形,平面,,,, 分別為,的中點(diǎn).

1求證:平面;

2求平面與平面所成銳二面角的大小.

【答案】1證明見解析2

【解析】

試題1利用已知的線面垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系,準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵.2證明證線線垂直,只需要證明直線的方向向量垂直;3把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面法向量夾角的余弦值;4空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算,應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識(shí)形體特征,建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,實(shí)施幾何問題代數(shù)化.同時(shí)注意兩點(diǎn):一是正確寫出點(diǎn)、向量的坐標(biāo),準(zhǔn)確運(yùn)算;二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完備.

試題解析:1證明:,分別為,的中點(diǎn),

.

平面,平面,

平面.

2:平面,,平面

平面,.

四邊形是正方形,.

為原點(diǎn),分別以直線軸, 軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)

,

,,,,

,.

,, 分別為,,的中點(diǎn),

,,,

解法一設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則,

,令,得.

設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則,

,令,得.

所以==.

所以平面與平面所成銳二面角的大小為

解法二,,

是平面一個(gè)法向量.

,

是平面平面一個(gè)法向量.

平面與平面所成銳二面角的大小為).

解法延長(zhǎng)使得

,,

四邊形是平行四邊形,

四邊形是正方形,

,分別為,的中點(diǎn),

平面平面, 平面.

平面平面平面

平面與平面所成銳二面角與二面角相等.

平面平面

平面是二面角的平面角.

平面與平面所成銳二面角的大小為).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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