Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

(n+1)xn(1-xn)

1+x+x2+…+xn-1

(x＞0)，n為正整數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值A(chǔ)_n；
（Ⅱ）證明：A_n＞A_n+1；
（Ⅲ）證明：

1

e

＜An＜

1

e

+

1

n

．

Answer 1

分析：（I）利用等比數(shù)列求和公式化簡，得f（x）=（n+1）xⁿ（1-x），利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性可得f（x）在區(qū)間（0，

n

n+1

）上為增函數(shù)，在區(qū)間 （

n

n+1

，+∞）上為減函數(shù)，因此f（x）的最大值A(chǔ)_n=（

n

n+1

_）ⁿ；
（II）化簡得

1

An

=(1+

1

n

)n，利用基本不等式證出(1+

1

n

)n≤(1+

1

n+1

)n+1．由于等號不能成立，故

1

An

＜

1

An+1

對任意的n∈N^*成立，結(jié)合A_n為正數(shù)將兩邊取倒數(shù)得A_n＞A_n+1；
（III）根據(jù)e的定義得到

lim

n→∞

1

An

=e，結(jié)合

1

An

為關(guān)于n的遞增函數(shù)得

1

An

＜e，兩邊取倒數(shù)可得

1

e

＜An．再利用不等式的性質(zhì)證出

1

An- 1 n

＞e＞0，變形整理得An＜

1

e

+

1

n

，由此可得原不等式對任意的n∈N^*成立．

解答：解：（I）∵1+x+x²+…+x^n-1=

1-xn

1-x

∴f(x)=

(n+1)xn(1-xn)

1+x+x2+…+xn-1

=（n+1）xⁿ（1-x）
求導(dǎo)數(shù)，得f'（x）=（n+1）[nx^n-1-（n+1）xⁿ]
令f'（x）=0，得x=

n

n+1

∵當(dāng)0＜x＜

n

n+1

時，f'（x）＞0；當(dāng)x＞

n

n+1

時，f'（x）＜0
∴f（x）在區(qū)間（0，

n

n+1

）上為增函數(shù)，在區(qū)間 （

n

n+1

，+∞）上為減函數(shù)
因此函數(shù)f（x）的最大值為f（

n

n+1

）=（

n

n+1

）ⁿ，即A_n=（

n

n+1

_）ⁿ；
（II）

1

An

=(

1+n

n

)n=(1+

1

n

)n
根據(jù)n為正整數(shù)，由基本不等式，得
(1+

1

n

)n=(1+

1

n

) •(1+

1

n

) •…•(1+

1

n

) •1≤[

(1+ 1 n ) +(1+ 1 n )+ …(1+ 1 n )+ 1

n+1

]n+1=(1+

1

n+1

)n+1
當(dāng)且僅當(dāng)1+

1

n

=1時等號成立，可得等號不能成立
∴

1

An

＜

1

An+1

對任意的n∈N^*成立，結(jié)合A_n為正數(shù)將兩邊取倒數(shù)得A_n＞A_n+1；
（III）∵當(dāng)n→+∞時，

1

An

=(1+

1

n

)n→e，即

lim

n→∞

1

An

=e
∴由（II）得

1

An

為關(guān)于n的遞增函數(shù)，可得

1

An

＜e，兩邊取倒數(shù)可得

1

e

＜An
又∵

1

An- 1 n

＞

1

An

，而

lim

n→∞

1

An

=e，
∴

1

An- 1 n

＞e＞0，可得A n-

1

n

＜

1

e

，移項可得An＜

1

e

+

1

n

綜上所述，可得不等式

1

e

＜An＜

1

e

+

1

n

對任意的n∈N^*成立．

點評：本題給出關(guān)于x的多項式函數(shù)，求函數(shù)的最值并依此證明數(shù)列的單調(diào)性和不等式恒成立．著重考查了等比數(shù)列求和公式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的證明和不等式的性質(zhì)等知識，屬于中檔題．