Question

（本小題滿分14分）

已知數(shù)列的首項(xiàng)為，對(duì)任意的，定義.

（Ⅰ） 若，求；

（Ⅱ） 若，且.

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：數(shù)列中任意一項(xiàng)的值均不會(huì)在該數(shù)列中出現(xiàn)無(wú)數(shù)次.

Answer 1

（本小題滿分14分）

(Ⅰ) 解：,,

.                                 ………………3分

（Ⅱ）（�。┙猓阂�?yàn)?img width=76 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/407/167907.gif" >（），

所以，對(duì)任意的有，

即數(shù)列各項(xiàng)的值重復(fù)出現(xiàn)，周期為.                     ………………5分

又?jǐn)?shù)列的前6項(xiàng)分別為，且這六個(gè)數(shù)的和為7.

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，

當(dāng)時(shí)，

，      

當(dāng)時(shí)，

    ，                     ………………7分

所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，. ………………8分

（ⅱ）證明：由（�。┲�：對(duì)任意的有，

又?jǐn)?shù)列的前6項(xiàng)分別為，且這六個(gè)數(shù)的和為.

設(shè)，（其中為常數(shù)且），

所以

. 

所以，數(shù)列均為以為公差的等差數(shù)列.          ………………10分

因?yàn)?img width=36 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/440/167940.gif" >時(shí)，，時(shí)，，  ………………12分

所以{}為公差不為零的等差數(shù)列，其中任何一項(xiàng)的值最多在該數(shù)列中出現(xiàn)一次.

所以數(shù)列中任意一項(xiàng)的值最多在此數(shù)列中出現(xiàn)6次，

即任意一項(xiàng)的值不會(huì)在此數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無(wú)數(shù)次.               ………………14分