Question

（2013•肇慶二模）已知函數(shù)f(x)=

-x3+ax2+bx，(x＜1) c(ex-1-1)，(x≥1)

在x=0，x=

2

3

處存在極值．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)A，B使得△AOB是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊AB的中點(diǎn)在y軸上，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（3）當(dāng)c=e時(shí)，討論關(guān)于x的方程f（x）=kx（k∈R）的實(shí)根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）=-3x²+2ax+b，依題意，由

f′(0)=0 f′( 2 3 )=0

可求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）由（1）可求得f（x）=

-x3+x2，(x＜1) c(ex-1-1)，(x≥1)

，依題意A，B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，不妨設(shè)A（-t，t³+t²），B（t，f（t）），（t＞0）．分t＜1與t≥1討論，利用∠AOB是直角，

OA

•

OB

=0，即可求得實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（3）由方程f（x）=kx，知kx=

-x3+x2，(x＜1) ex-e，(x≥1)

，可知0一定是方程的根，x≠0，方程等價(jià)于k=

-x2+x，(x＜1且x≠0) ex-e x ，(x≥1)

，構(gòu)造函數(shù)g（x）=

-x2+x，(x＜1且x≠0) ex-e x ，(x≥1)

，
分x＜1且x≠0與x≥1兩類討論，即可確定f（x）=kx（k∈R）的實(shí)根的個(gè)數(shù)．

解答：解（1）當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）=-3x²+2ax+b．（1分）
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=0，x=

2

3

處存在極值，所以

f′(0)=0 f′( 2 3 )=0

解得a=1，b=0．（3分）
（2）由（1）得f（x）=

-x3+x2，(x＜1) c(ex-1-1)，(x≥1)

，
根據(jù)條件知A，B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，不妨設(shè)A（-t，t³+t²），B（t，f（t）），（t＞0）．
若t＜1，則f（t）=-t³+t²，
由∠AOB是直角得，

OA

•

OB

=0，即-t²+（t³+t²）（-t³+t²）=0，
即t⁴-t²+1=0．此時(shí)無解；                                                    （5分）
若t≥1，則f（t）=c（e^t-1-1）．由于AB的中點(diǎn)在y軸上，且∠AOB是直角，所以B點(diǎn)不可能在x軸上，即t≠1．
由

OA

•

OB

=0，即-t²+（t³+t²）•c（e^t-1-1）=0，得c=

1

(t+1)(et-1-1)

．
因?yàn)楹瘮?shù)y=（t+1）（e^t-1-1）在t＞1上的值域是（0，+∞），
所以實(shí)數(shù)c的取值范圍是（0，+∞）．（7分）
（3）由方程f（x）=kx，知kx=

-x3+x2，(x＜1) ex-e，(x≥1)

，可知0一定是方程的根，（8分）
所以僅就x≠0時(shí)進(jìn)行研究：方程等價(jià)于k=

-x2+x，(x＜1且x≠0) ex-e x ，(x≥1)

，
構(gòu)造函數(shù)g（x）=

-x2+x，(x＜1且x≠0) ex-e x ，(x≥1)

，
對(duì)于x＜1且x≠0部分，函數(shù)g（x）=-x²+x的圖象是開口向下的拋物線的一部分，
當(dāng)x=

1

2

時(shí)取得最大值

1

4

，其值域是（-∞，0）∪（0，

1

4

）；
對(duì)于x≥1部分，函數(shù)g（x）=

ex-e

x

，由g′（x）=

ex(x-1)+e

x2

＞0，知函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
所以，①當(dāng)k＞

1

4

或k≤0時(shí)，方程f（x）=kx有兩個(gè)實(shí)根；
②當(dāng)k=

1

4

時(shí)，方程f（x）=kx有三個(gè)實(shí)根；
③當(dāng)0＜k＜

1

4

時(shí)，方程f（x）=kx有四個(gè)實(shí)根．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，突出分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及創(chuàng)新思維與邏輯思維能力的考查，屬于難題．