【題目】已知等比數(shù)列滿足,數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列, 的通項(xiàng)公式;
(2)令,求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(3)若,求對所有的正整數(shù)都有成立的的取值范圍.
【答案】(1), ;(2)(3)見解析
【解析】試題分析:
(1)首先由題意求得首項(xiàng)和公比,則數(shù)列的通項(xiàng)公式是,然后利用遞推關(guān)系可得的通項(xiàng)公式是;
(2)錯(cuò)位相減可得數(shù)列的前項(xiàng)和;
(3)結(jié)合(1)(2)的結(jié)論可得數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列,然后結(jié)合恒成立的條件可得.
試題解析:
(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為,
由,得,所以
故數(shù)列是以2為首項(xiàng), 為公比的等比數(shù)列,所以
因?yàn)?/span>,所以,
所以是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列
所以,
(2)因?yàn)?/span>,
③
所以④
③﹣④得
所以
(3)證明:由(1)知,
因?yàn)?/span>
所以數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列
當(dāng)時(shí), ,即得最大值為1
由,所以
而當(dāng)時(shí), ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)
故.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校課題組為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生細(xì)心程度的關(guān)系,在本校隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生進(jìn)行研究.研究結(jié)果表明:在數(shù)學(xué)成績及格的60名學(xué)生中有45人比較細(xì)心,另外15人比較粗心;在數(shù)學(xué)成績不及格的40名學(xué)生中有10人比較細(xì)心,另外30人比較粗心.
(1)試根據(jù)上述數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表;
數(shù)學(xué)成績及格 | 數(shù)學(xué)成績不及格 | 合計(jì) | |
比較細(xì)心 | 45 | ||
比較粗心 | |||
合計(jì) | 60 | 100 |
(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與細(xì)心程度有關(guān)系?
參考數(shù)據(jù):獨(dú)立檢驗(yàn)隨機(jī)變量的臨界值參考表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,其中
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于函數(shù)有如下結(jié)論:
①該函數(shù)為偶函數(shù);
②若,則;
③其單調(diào)遞增區(qū)間是;
④值域是;
⑤該函數(shù)的圖象與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn).(本題中是自然對數(shù)的底數(shù))
其中正確的是__________.(請把正確結(jié)論的序號(hào)填在橫線上)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分15分)已知橢圓:過點(diǎn),離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),過的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn),記的內(nèi)切圓的面積為,求當(dāng)取最大值時(shí)直線的方程,并求出最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,四棱錐中,四邊形是直角梯形, 底面, 為的中點(diǎn), 點(diǎn)在上,且.
(1)證明: 平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知.
(1)當(dāng)為常數(shù),且在區(qū)間變化時(shí),求的最小值;
(2)證明:對任意的,總存在,使得 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,底面是邊長為2的等邊三角形, 為的中點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)若四邊形是正方形,且,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在對人們休閑方式的一次調(diào)查中,共調(diào)查了124人,其中女性70人,男性54人,女性中有43人主要的休閑方式是看電視,另外27人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng);男性中有21人主要的休閑方式是看電視,另外33人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng).
(Ⅰ)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2列聯(lián)表;
(Ⅱ)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為性別與休閑方式有關(guān)系?
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:在數(shù)列中,若為常數(shù))則稱為“等方差數(shù)列”,下列是對“等方差數(shù)列”的有關(guān)判斷( )
①若是“等方差數(shù)列”,在數(shù)列 是等差數(shù)列;
②是“等方差數(shù)列”;
③若是“等方差數(shù)列”,則數(shù)列為常)也是“等方差數(shù)列”;
④若既是“等方差數(shù)列”又是等差數(shù)列,則該數(shù)列是常數(shù)數(shù)列.
其中正確命題的個(gè)數(shù)為( )
A. B. C. D.
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