已知頂點在原點,焦點在y軸上的拋物線過點P(2,1).
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點P作直線l與拋物線有且只有一個公共點,求直線l的方程;
(3)過點Q(1,1)作直線交拋物線于A,B兩點,使得Q恰好平分線段AB,求直線AB的方程.
分析:(1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2=2py,把點P(2,1)代入可得 p 值,從而求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)當(dāng)斜率不存在時,直線方程為x=2 符合題意;當(dāng)斜率存在時,先設(shè)直線方程并聯(lián)立拋物線方程,得出△=0,即可求出結(jié)果.
(3)由題意可知,AB的斜率存在,設(shè)AB的方程為 y-1=k(x-1),代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程化簡,由x1+x2=2,求得k的值,從而得到AB的方程.
解答:解:(1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x
2=2py,把點P(2,1)代入可得 4=2p,∴p=2,
故所求的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x
2=4y.
(2)i當(dāng)斜率不存在時,直線方程為x=2 符合題意
ii當(dāng)斜率存在時,設(shè)直線方程為:y-1=k(x-2)即y=kx-2k+1
聯(lián)立方程可得,
整理可得x
2-4kx+8k-4=0
∵直線與拋物線只有一個公共點
∴△=16k
2-32k+16=0
∴k=1
綜上可得,x-y-1=0,x=2,
(3)由題意可知,AB的斜率存在,設(shè)AB的方程為 y-1=k(x-1),代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x
2=4y 可得
x
2-4kx+4k-4=0,∴x
1+x
2=4k=2,∴k=
,∴AB的方程為 y-1=
(x-1),
即x-2y+1=0.
點評:本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,線段的中點公式的應(yīng)用,得到 x1+x2=4k=2,是解題的關(guān)鍵.