已知頂點在原點,焦點在y軸上的拋物線過點P(2,1).
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點P作直線l與拋物線有且只有一個公共點,求直線l的方程;
(3)過點Q(1,1)作直線交拋物線于A,B兩點,使得Q恰好平分線段AB,求直線AB的方程.
分析:(1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2=2py,把點P(2,1)代入可得 p 值,從而求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)當(dāng)斜率不存在時,直線方程為x=2 符合題意;當(dāng)斜率存在時,先設(shè)直線方程并聯(lián)立拋物線方程,得出△=0,即可求出結(jié)果.
(3)由題意可知,AB的斜率存在,設(shè)AB的方程為 y-1=k(x-1),代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程化簡,由x1+x2=2,求得k的值,從而得到AB的方程.
解答:解:(1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為  x2=2py,把點P(2,1)代入可得 4=2p,∴p=2,
故所求的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y.
(2)i當(dāng)斜率不存在時,直線方程為x=2 符合題意
ii當(dāng)斜率存在時,設(shè)直線方程為:y-1=k(x-2)即y=kx-2k+1
聯(lián)立方程可得,
y=kx-2k+1
x2=4y
整理可得x2-4kx+8k-4=0
∵直線與拋物線只有一個公共點
∴△=16k2-32k+16=0
∴k=1
綜上可得,x-y-1=0,x=2,
(3)由題意可知,AB的斜率存在,設(shè)AB的方程為 y-1=k(x-1),代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y 可得
x2-4kx+4k-4=0,∴x1+x2=4k=2,∴k=
1
2
,∴AB的方程為 y-1=
1
2
(x-1),
即x-2y+1=0.
點評:本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,線段的中點公式的應(yīng)用,得到 x1+x2=4k=2,是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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已知頂點在原點,焦點在x軸上的拋物線與直線y=2x+1交于P、Q兩點,|PQ|=
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已知頂點在原點、焦點F在y軸正半軸上的拋物線Q1過點(2,1),拋物線Q2與Q1關(guān)于x軸對稱.
(I)求拋物線Q2的方程;
(II)過點F的直線交拋物線Q1于點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),過A、B分別作Q1的切線l1,l2,記直線l1與Q2的交點為M(m1,n1),N(m2,n2)(m1<m2),求證:拋物線Q2上的點S(s,t)若滿足條件m2s=4,則S恰在直線l2上.

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已知頂點在原點,焦點在x軸上的拋物線被直線y=2x+1截得的弦長為
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(1)求拋物線的方程;
(2)若拋物線與直線y=2x-5無公共點,試在拋物線上求一點,使這點到直線y=2x-5的距離最短.

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