Question

某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇．
（Ⅰ）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？
（Ⅱ）為保證小艇在30分鐘內(nèi)（含30分鐘）能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值；
（Ⅲ）是否存在v，使得小艇以v海里/小時(shí)的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若存在，試確定v的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先假設(shè)相遇時(shí)小艇的航行距離為S，根據(jù)余弦定理可得到關(guān)系式S=

900t2+400-2•30t•20•cos(90°-30°)

整理后運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)可確定答案．
（2）先假設(shè)小艇與輪船在某處相遇，根據(jù)余弦定理可得到（vt）²=20²+（30t）²-2•20•30t•cos（90°-30°），再由t的范圍可求得v的最小值．
（3）根據(jù)（2）中v與t的關(guān)系式，設(shè)

1

t

=u然后代入關(guān)系式整理成400u²-600u+900-v²=0，將問(wèn)題等價(jià)于方程有兩個(gè)不等正根的問(wèn)題，進(jìn)而得解．

解答：解：（1）設(shè)相遇時(shí)小艇的航行距離為S海里，則
S=

900t2+400-2•30t•20•cos(90°-30°)

=

900t2-600t+400

=

900(t- 1 3 )2+300

故當(dāng)t=

1

3

時(shí)，Smin=10

3

，v=

10 3

1 3

=30

3

即小艇以30

3

海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小．
（2）設(shè)小艇與輪船在某處相遇
由題意可得：（vt）²=20²+（30t）²-2•20•30t•cos（90°-30°）
化簡(jiǎn)得：v2=

400

t2

-

600

t

+900=400(

1

t

-

3

4

)2+675
由于0＜t≤

1

2

，即

1

t

≥2
所以當(dāng)

1

t

=2時(shí)，v取得最小值10

13

即小艇航行速度的最小值為10

13

海里/小時(shí)
（3）由（2）知：v2=

400

t2

-

600

t

+900，設(shè)

1

t

=u（u＞0）
于是400u²-600u+900-v²=0①
小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇，等價(jià)于方程①應(yīng)有兩個(gè)不等正根，即

6002-1600(900-v2)＞0 900-v2＞0

，解得15

3

＜v＜30
所以，v 的取值范圍是（15

3

，30）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查解三角形、二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí)，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想．