Question

已知函數(shù)g（x）=

4x-n

2x

是奇函數(shù)，f（x）=log₄（4^x+1）+mx是偶函數(shù)．
（1）求m+n的值；
（2）若g（x）＞log₄（2a+2）對(duì)任意的x≥1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)定義在R上奇函數(shù)滿足g（0）=0，解出n=1，再根據(jù)f（-x）=f（x），化簡(jiǎn)整理得到m=-

1

2

，由此可得m+n的值；
（2）由（1）表示出g（x），解決該問(wèn)題只需求出g（x）的最小值，易判斷g（x）在[1，+∞）上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可求出g（x）的最小值；

解答：解：（1）由于g（x）為奇函數(shù)，且定義域?yàn)镽，
∴g（0）=0，即

40-n

20

=0，解之得n=1，
由于f（x）=log₄（4^x+1）+mx，
∴f（-x）=log₄（4^-x+1）-mx=log₄（4^x+1）-（m+1）x，
∵f（x）=log₄（4^x+1）+mx是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），得到mx=-（m+1）x恒成立，故m=-

1

2

，
由此可得：m+n的值為

1

2

；
（2）由（1）知，g（x）=

4x-1

2x

=2^x-2^-x在區(qū)間[1，+∞）上時(shí)增函數(shù)，
所以當(dāng)x≥1時(shí)，g（x）_min=g（1）=

3

2

，
由題意，得

2a+2＞0 2a+2＜4 3 2

，解得-1＜a＜3，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是：{a|-1＜a＜3}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．