已知橢圓C：()經(jīng)過與兩點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過原點的直線l與橢圓C交于A、B兩點，橢圓C上一點M滿足．求證：為定值．

（Ⅰ）（Ⅱ）①若點A、B是橢圓的短軸頂點，則點M是橢圓的一個長軸頂點，此時．同理，若點A、B是橢圓的長軸頂點，則點M在橢圓的一個短軸頂點，此時
．②若點A、B、M不是橢圓的頂點，設(shè)直線l的方程為（），
則直線OM的方程為，設(shè)，，由解得，，∴，同理，所以，為定值． 13分

解析試題分析：（Ⅰ）將與代入橢圓C的方程，

得解得，．
∴橢圓的方程為．   6分
（Ⅱ）由，知M在線段AB的垂直平分線上，由橢圓的對稱性知A、B關(guān)于原點對稱．
①若點A、B是橢圓的短軸頂點，則點M是橢圓的一個長軸頂點，此時
．
同理，若點A、B是橢圓的長軸頂點，則點M在橢圓的一個短軸頂點，此時
．
②若點A、B、M不是橢圓的頂點，設(shè)直線l的方程為（），
則直線OM的方程為，設(shè)，，
由解得，，
∴，同理，
所以，
故為定值．   13分
考點：橢圓方程及直線與橢圓的位置關(guān)系
點評：求橢圓方程采用的待定系數(shù)法，第二問中要證明式子結(jié)果是定值首先需求出點坐標(biāo)，結(jié)合已知條件可知這三點坐標(biāo)教容易求出，因此只需聯(lián)立方程求解即可

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)分別是橢圓：的左、右焦點，過傾斜角為的直線 與該橢圓相交于P，兩點，且.
（Ⅰ）求該橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)點 滿足，求該橢圓的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：過點，上、下焦點分別為、，
向量．直線與橢圓交于兩點，線段中點為．
（1）求橢圓的方程；
（2）求直線的方程；
（3）記橢圓在直線下方的部分與線段所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為，若曲線
與區(qū)域有公共點，試求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線的焦點為，點是拋物線上的一點，且其縱坐標(biāo)為4，．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)點是拋物線上的兩點，的角平分線與軸垂直，求直線AB的斜率；
（3）在（2）的條件下，若直線過點，求弦的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，其左、右焦點分別為、，短軸長為，點在橢圓上，且滿足的周長為6．
（Ⅰ）求橢圓的方程；；
（Ⅱ）設(shè)過點的直線與橢圓相交于A、B兩點，試問在x軸上是否存在一個定點M使恒為定值？若存在求出該定值及點M的坐標(biāo)，若不存在請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓．
（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距，且成等差數(shù)列，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)（1）中的橢圓與直線相交于兩點，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知曲線，
(1)化的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線？
(2)若上的點P對應(yīng)的參數(shù)為，Q為上的動點，求PQ的中點M到直線的距離的最小值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知、分別為橢圓：的上、下焦點，其中也是拋物線： 的焦點，點是與在第二象限的交點，且。

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知點（1，3）和圓：，過點的動直線與圓相交于不同的兩點，在線段取一點，滿足：，（且）。
求證：點總在某定直線上。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知雙曲線的離心率為，右準線方程為。
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）已知直線與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓上，求實數(shù)m的值。  

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