Question

已知函數(shù)f(x)=

x

ax+b

(a≠0)滿足f（2）=1，且方程f（x）=x有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）≠1，n∈N^*．求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）定義min{a，b}=

a，a≤b b，a＞b

．對(duì)于（Ⅱ）中的數(shù)列{a_n}，令bn=min{an，

1

n

}．設(shè)S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求證：S_n＞ln（n+1）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件知2a+b=2．當(dāng)△=（b-1）²=0時(shí)，b=1，a=

1

2

，f(x)=

2x

x+2

；當(dāng)△=（b-1）²≠0時(shí)，a=1，f（x）=1（x≠0）．
（Ⅱ）由題意知當(dāng)f（x）=1時(shí)，a_n+1=1，不合題意，所以f(x)=

2x

x+2

，an+1=

2an

an+2

，∴

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，由此可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅲ）由題設(shè)條件知，an-

1

n

=

2

n+1

-

1

n

=

n-1

n(n+1)

≥0，n∈N*，所以an≥

1

n

，bn=min{an，

1

n

}=

1

n

，再用分析法證明S_n＞ln（n+1）．

解答：解：（Ⅰ）由f(2)=

2

2a+b

=1，得2a+b=2；
又

x

ax+b

=x，有且僅有一個(gè)解，
即ax²+（b-1）x=0，有唯一解滿足ax+b≠0．
∵a≠0，∴當(dāng)△=（b-1）²=0時(shí)，b=1，x=0，則a=

1

2

，此時(shí)f(x)=

2x

x+2

，
又當(dāng)△=（b-1）²≠0時(shí)，x1=-

b-1

a

≠0，x2=0，因?yàn)閍x₁+b=1≠0，
所以ax₂+b=b=0，則a=1，此時(shí)f(x)=

x

x

=1(x≠0)
綜上所述，f(x)=

2x

x+2

，或者f（x）=1（x≠0）；

（Ⅱ）a₁=1，a_n+1=f（a_n）≠1，n∈N^*，當(dāng)f（x）=1時(shí)，a_n+1=1，不合題意，
則f(x)=

2x

x+2

，an+1=

2an

an+2

，
∴

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，
則

1

an

=1+

1

2

(n-1)，an=

2

n+1

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，an-

1

n

=

2

n+1

-

1

n

=

n-1

n(n+1)

≥0，n∈N*
∴an≥

1

n

，則bn=min{an，

1

n

}=

1

n

，所以Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n=ln（n+1），則c₁=T₁=ln2＜lne=1
當(dāng)n≥2時(shí)，cn=Tn-Tn-1=ln(n+1)-lnn=ln

n+1

n

=ln(1+

1

n

)，要證明ln(1+

1

n

)＜

1

n

，n∈N*
令1+

1

n

=t＞1，只要證明：lnt＜t-1，其中t＞1．
令g（x）=x-1-lnx（x≥1），則g′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

≥0，所以g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
則當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞g（1）=0，即x-1＞lnx（x＞1），所以

1

n

＞cn=ln(1+

1

n

)，n∈N*，
則Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞c1+c2+…+cn=Tn=ln(n+1)．

點(diǎn)評(píng)：也可用數(shù)學(xué)歸納法證明，為此，先證明

1

n+1

＞ln(1+

1

n+1

)，即證：lnt＜t-1，其中t＞1．