在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓C的圓心在第二象限，半徑為且與直線y=x相切于原點(diǎn)O．橢圓與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）圓C上是否存在點(diǎn)Q，使O、Q關(guān)于直線CF（C為圓心，F(xiàn)為橢圓右焦點(diǎn)）對(duì)稱，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】分析：（1）根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可知，圓心所在直線與切線垂直，又因?yàn)閳A過(guò)原點(diǎn)，半徑為，即可求出圓方程．
（2）又橢圓的定義可求出橢圓方程，假設(shè)圓C上存在點(diǎn)Q，使O、Q關(guān)于直線CF對(duì)稱，根據(jù)圓方程和橢圓方程求出直線CF的方程，設(shè)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)镺、Q關(guān)于直線CF對(duì)稱，所以直線OQ垂直于直線CF，斜率等于直線CF斜率的負(fù)倒數(shù)，且O，Q的中點(diǎn)在直線CF上，滿足直線CF的方程，據(jù)此，即可求Q點(diǎn)坐標(biāo)，若能求出，則存在，若求不出，則不存在．
解答：解：（1）由題意知：圓心（-2，2），半徑，圓C：（x+2）2+（y-2）2=8
（2）由條件可知a=5，橢圓，
∴F（4，0）
若存在，直線CF的方程的方程為即x+3y-4=0
設(shè)Q（x，y），則，
解得，所以存在點(diǎn)Q，Q的坐標(biāo)為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，以及解析幾何中的對(duì)稱性問(wèn)題，屬于常規(guī)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在圓C上，且滿足PF=4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
3
5
，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設(shè)直線AC與BD的交點(diǎn)為P，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線QA1，QA2分別交x軸于點(diǎn)S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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同步練習(xí)冊(cè)答案