Question

已知函數(shù)在處存在極值.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)函數(shù)的圖像上存在兩點(diǎn)A，B使得是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊AB的中點(diǎn)在軸上，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)當(dāng)時(shí)，討論關(guān)于的方程的實(shí)根個(gè)數(shù).

Answer 1

(1) .（2）的取值范圍是.（3）①當(dāng)或時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根；②當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)實(shí)根；③當(dāng)時(shí)，方程有四個(gè)實(shí)根.

試題分析：（1）求導(dǎo)得，將代入解方程組即得.(2) 由（1）得根據(jù)條件知A,B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，不妨設(shè).接下來根據(jù)大于等于1和小于1分別求解.(3)由方程
知，顯然0一定是方程的根，所以僅就時(shí)進(jìn)行研究，這時(shí)方程等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)作出的圖象即可得方程的要的個(gè)數(shù).
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，.      1分
因?yàn)楹瘮?shù)在處存在極值，所以
解得.      4分
(2) 由（I）得
根據(jù)條件知A,B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，不妨設(shè).
若，則，
由是直角得，，即，
即.此時(shí)無解；      6分
若，則. 由于AB的中點(diǎn)在軸上，且是直角，所以B點(diǎn)不可能在軸上，即. 同理有，即，.
因?yàn)楹瘮?shù)在上的值域是，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.      8分
（3）由方程，知，可知0一定是方程的根， 10分
所以僅就時(shí)進(jìn)行研究：方程等價(jià)于
構(gòu)造函數(shù)
對(duì)于部分，函數(shù)的圖像是開口向下的拋物線的一部分，
當(dāng)時(shí)取得最大值，其值域是；
對(duì)于部分，函數(shù)，由，
知函數(shù)在上單調(diào)遞增.
所以，①當(dāng)或時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根；
②當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)實(shí)根；
③當(dāng)時(shí)，方程有四個(gè)實(shí)根.       14分