Question

（2013•南京二模）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=4，CB=4，CC₁=2

2

，∠ACB=90°，點M在線段A₁B₁上．
（1）若A₁M=3MB₁，求異面直線AM與A₁C所成角的余弦值；
（2）若直線AM與平面ABC₁所成角為30°，試確定點M的位置．

Answer 1

分析：（1）以CA、CB、CC₁為x、y、z軸，建立如圖所示空間直角坐標系．算出向量

CA1

、

AM

的坐標，利用空間向量的夾角公式，即可求出異面直線AM與A₁C所成角的余弦值為

39

39

；
（2）利用垂直向量數(shù)量積為零的方程，建立方程組解出

n

=（1，1，

2

）是平面ABC₁的一個法向量，設A₁M=x，則

AM

=（x-4，4-x，2

2

），結合題意可得

AM

與

n

所成角為60°或120°，利用空間向量夾角公式建立關于x的方程解出x的值，即可得到點M為線段A₁B₁的中點時，滿足直線AM與平面ABC₁所成角為30°．

解答：解：（1）分別以CA、CB、CC₁為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示
則C（0，0，0），A（4，0，0），A₁（4，0，2

2

），B₁（0，4，2

2

）
∵A₁M=3MB₁，∴M（1，3，2

2

），
可得

CA1

=（4，0，2

2

），

AM

=（-3，3，2

2

），
∴cos＜

CA1

，

AM

＞=

CA1 • AM

|CA1| • |AM|

=

-4

24 • 26

=-

39

39

由于異面直線所成角為直角或銳角，所以異面直線AM與A₁C所成角的余弦值為

39

39

；
（2）由（1）得B（0，4，0），B₁（0，0，2

2

）
∴

AB

=（-4，4，0），

AC1

=（-4，0，2

2

）
設

n

=（a，b，c）是平面ABC₁的一個法向量，可得

n • AB =-4a+4b=0 n • AC1 =-4a+2 2 c=0

，取a=1，得b=1，c=

2

∴

n

=（1，1，

2

），而直線AM與平面ABC₁所成角為30°，
可得

AM

與

n

所成角為60°或120°
∴|cos＜

AM

、

n

＞|=

1

2

，設A₁M=x，則

AM

=（x-4，4-x，2

2

）
即

AM • n

|AM| • |n|

=

1•(x-4)+1•(4-x)+ 2 •2 2

2 (x-4)2+(4-x)2+8

=

2

2(x-4)2+8

=

1

2

解之得x=2或6，由于M在A₁B₁上可得x＜6，故A₁M=x=2
即點M為線段A₁B₁的中點時，滿足直線AM與平面ABC₁所成角為30°．

點評：本題建立空間坐標系，求異面直線所成角和直線與平面所成角．著重考查了空間向量的夾角公式、平面法向量的求法和利用空間坐標系研究空間角等知識點，屬于中檔題．