Question

 設(shè)函數(shù) 

（1）若關(guān)于x的不等式在有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）設(shè)，若關(guān)于x的方程至少有一個(gè)解，求 的最小值.

（3）證明不等式： 

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）p的最小值為0；（3）見解析。

【解析】本試題主要是考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來求解函數(shù)的方程的解，以及不等式的證明。

（1）因?yàn)殛P(guān)于x的不等式在有實(shí)數(shù)解，那么只要即可，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的 最大值問題。

（2）設(shè)，若關(guān)于x的方程至少有一個(gè)解，可知分離參數(shù)的思想，求解常函數(shù)與已知函數(shù)有交點(diǎn)時(shí)的情況即可。

（3）在上一問的基礎(chǔ)上，利用單調(diào)性得到不等式，ln(1+x)x,來證明不等式。

（1）依題意得

，而函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916535362886446/SYS201211191655230038858459_DA.files/image012.png">

∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

則在上為增函數(shù)

即實(shí)數(shù)m的取值范圍為 

（2） 

則

顯然，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)

則函數(shù)的最小值為                     

所以，要使方程至少有一個(gè)解，則，即p的最小值為0   

（3）由（2）可知： 在上恒成立

所以   ，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號成立

令，則  代入上面不等式得：

即，   即  

所以，，，，…，

將以上n個(gè)等式相加即可得到：