Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3﹣3x
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若方程x3﹣3x﹣a+1=0有三個相異的實數(shù)根，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=3x2﹣3由f'（x）=0解得x=±1

列表如下：

x	（﹣∞，﹣1）	﹣1	（﹣1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↗	極大值f（﹣1）	↘	極小值f（1）	↗

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣∞，﹣1），（1，+∞）

單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣1，1）

函數(shù)的極大值是f（﹣1）=2，極小值是f（1）=﹣2

（2）解：方程x3﹣3x﹣a+1=0即為方程x3﹣3x=a﹣1

令y=x3﹣3x和y=a﹣1，方程x3﹣3x﹣a+1=0有三個相異的實數(shù)根即上述兩個函數(shù)的圖象有三個不同的交點y=a﹣1是一條直線而y=x3﹣3x的圖象大致如下：

如圖要使兩個函數(shù)的圖象有三個不同的交點

則有：﹣2＜a﹣1＜2，解得：﹣1＜a＜3

【解析】（1）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間，從而求函數(shù)f（x）的極值；（2）方程x3﹣3x﹣a+1=0即為方程x3﹣3x=a﹣1，令y=x3﹣3x和y=a﹣1，方程x3﹣3x﹣a+1=0有三個相異的實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為判斷兩個函數(shù)何時有三個不同交點的問題，數(shù)形結(jié)合，問題得解．
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．