Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．
（Ⅰ）若a=0時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-x²，是否存在實數(shù)a，當(dāng)x∈（0，e]（e是自然常數(shù)）時，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）欲求在點（1，f（1））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（II）先對函數(shù)f（x）進行求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)可得到其導(dǎo)函數(shù)在[1，2]上小于等于0應(yīng)該恒成立，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得a的范圍．
（III）先假設(shè)存在，然后對函數(shù)g（x）進行求導(dǎo)，再對a的值分情況討論函數(shù)g（x）在（0，e]上的單調(diào)性和最小值取得，可知當(dāng)a=e²能夠保證當(dāng)x∈（0，e]時g（x）有最小值3．

解答：解：（I）a=0時，曲線y=f（x）=x²-lnx，
∴f′（x）=2x-

1

x

，∴g′（1）=1，又f（1）=1
曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程x-y=0．
（II） f′(x)=2x+a-

1

x

=

2x2+ax-1

x

≤0在[1，2]上恒成立，
令h（x）=2x²+ax-1，有

h(1)≤0 h(2)≤0

得

a≤-1 a≤- 7 2

，
得 a≤-

7

2

（II）假設(shè)存在實數(shù)a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，g′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

①當(dāng)a≤0時，g（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍去），
②當(dāng) 0＜

1

a

＜e時，g（x）在 (0，

1

a

)上單調(diào)遞減，在 (

1

a

，e]上單調(diào)遞增
∴g(x)min=g(

1

a

)=1+lna=3，a=e²，滿足條件．
③當(dāng)

1

a

≥e時，g（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍去），
綜上，存在實數(shù)a=e²，使得當(dāng)x∈（0，e]時g（x）有最小值3．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算和函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．