Question

【題目】如圖，設橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，A，B分別為橢圓C的左、右頂點，F為右焦點．直線y=6x與C的交點到y軸的距離為 ，過點B作x軸的垂線l，D為l 上異于點B的一點，以BD為直徑作圓E．

（1）求C 的方程；
（2）若直線AD與C的另一個交點為P，證明PF與圓E相切．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知， ，∴a=2c，

又a2=b2+c2，則b2=3c2．

設橢圓C的方程為 ，

聯立 ，解得x= ，∴c=1，a=2，b2=3．

故橢圓C的方程為 ；

（2）證明：由（1）可得F（1，0），設圓E的圓心為（2，t）（t≠0），則D（2，2t），

則圓E的半徑R=t．

直線AD的方程為y= ．

聯立 ，得（3+t2）x2+4t2x+4t2﹣12=0．

由 ，得 ， ．

直線PF的方程為 ，

即2tx+（t2﹣1）y﹣2t=0．

∵點E（2，t）到直線PF的距離為d= ，

∴直線PF與圓E相切．

【解析】（1）根據題意得到,再聯立直線方程，得到交點坐標，結合距離為，可得到橢圓的方程，（2）由橢圓方程得出焦點F的坐標，設其圓E的圓心坐標和半徑，得到直線AD的方程，聯立橢圓方程得到P點的坐標，表示出PF的直線方程，根據點E到PF的距離不難得到PF與圓E相切.