Question

函數(shù)f(x)=2

3

cos2

ωx

2

+sinωx-

3

(ω＞0)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖，A為最高點(diǎn)，B，C為圖象與x軸的交點(diǎn)，且

BA

•

CA

=0．
（1）求ω的值及f（x）的值域；
（2）若f(x0)=

8

5

，且x0∈(-

10

3

，

2

3

)，求f(x0+1)的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為 2sin（ωx+

π

3

），根據(jù)兩個(gè)向量垂直的條件求得，

BA

 ⊥

CA

，可得

1

2

BC=2，由此可得函數(shù)的周期為8，即

2π

ω

=8．
求出ω 的值，即可求得 f（x）=2sin（

π

4

x+

π

3

），從而求得f（x）的值域．
（2）由條件求得sin（

π

4

x₀+

π

3

）=

4

5

，cos（

π

4

x₀+

π

3

）=

3

5

，再根據(jù) f（x₀+1）=2sin[

π

4

（x₀+1）+

π

3

]=2sin[（

π

4

x₀+

π

3

）+

π

4

]，利用兩角和的正弦公式求得結(jié)果．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=2

3

cos2

ωx

2

+sinωx-

3

(ω＞0)=

3

（1+cosωx）+sinωx-

3

=2sin（ωx+

π

3

），

BA

•

CA

=0，∴

BA

 ⊥

CA

，∴

1

2

BC=2，∴BC=4，故函數(shù)的周期為8，即

2π

ω

=8，
解得ω=

π

4

，∴f（x）=2sin（

π

4

x+

π

3

），∴f（x）的值域?yàn)閇-2，2]．
（2）∵f(x0)=

8

5

，且x0∈(-

10

3

，

2

3

)，∴2sin（

π

4

x₀+

π

3

）=

8

5

，sin（

π

4

x₀+

π

3

）=

4

5

．
再由（

π

4

x₀+

π

3

）∈（-

π

2

，

π

2

）可得 cos（

π

4

x₀+

π

3

）=

3

5

．
∴f（x₀+1）=2sin[

π

4

（x₀+1）+

π

3

]=2sin[（

π

4

x₀+

π

3

）+

π

4

]=2sin （

π

4

x₀+

π

3

）cos

π

4

+2cos （

π

4

x₀+

π

3

）sin

π

4

=

7 2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，三角函數(shù)的周期性和求法，由函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，兩個(gè)向量垂直的條件，屬于中檔題．