Question

【題目】已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上遞減，若不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）對(duì)x∈[0，1]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A.[ ，1]
B.[﹣ ，1]
C.[1，3]
D.（﹣∞，1]

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵定義在R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上遞減，
∴不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）等價(jià)為2f（x3﹣x2+a）≥2f（1）
即f（x3﹣x2+a）≥f（1）對(duì)x∈[0，1]恒成立，
即﹣1≤x3﹣x2+a≤1對(duì)x∈[0，1]恒成立，
即﹣1﹣a≤x3﹣x2≤1﹣a對(duì)x∈[0，1]恒成立，
設(shè)g（x）=x3﹣x2 ， 則g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），
則g（x）在[0， ）上遞減，在（ ，1]上遞增，
∵g（0）=g（1）=0，g（ ）=﹣ ，
∴g（x）∈[﹣ ，0]，
即 即 ，得﹣ ≤a≤1，
故選：B．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識(shí)，掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．