Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù) 只有一個(gè)零點(diǎn).

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上有極值點(diǎn)，求取值范圍；

（Ⅲ）是否存在兩個(gè)不等正數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域也是，若存在，求出所有這樣的正數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）；

（Ⅲ）不存在這樣的正數(shù)，滿足題意.

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

（1）因?yàn)楹瘮?shù) 只有一個(gè)零點(diǎn).

可以知道在x=3處的導(dǎo)數(shù)值為零，以及導(dǎo)數(shù)為零點(diǎn)只有一個(gè)，求解函數(shù)的解析式；

（2）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有極值點(diǎn)，說(shuō)明了導(dǎo)數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)有根，然后借助于函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求取值范圍；

（3）假設(shè)存在兩個(gè)不等正數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域也是，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判定來(lái)求解取值。

（Ⅰ） 是的根，并滿足

（Ⅱ）在(0，2)上有極值點(diǎn)

在(0，2)上有根

即在(0，2)上有根

又對(duì)稱軸為,且開口向上,如圖所示:

的根設(shè)為，且滿足

		0		0
		極大值		極小值

所以 在(0，2)上有極值點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為

（Ⅲ）,

	(0,1)	1	（1,3）	3
	+
	遞增	4	遞減	0	遞增

假設(shè)存在不等正數(shù)，得當(dāng)時(shí)，的值域也是

，極值點(diǎn)

（�。┤�或，則在上單調(diào)遞增

有不合要求，舍去.

（ⅱ）若，在此區(qū)間上的最大值為4，不可能等于，不符合題意，舍去（ⅲ）若，在單調(diào)遞減

兩式相減并除得——①

兩式相除并開方可得即——②

代入①式得與矛盾.

 綜上所述，不存在這樣的正數(shù)，滿足題意.