Question

如圖，二次函數(shù)y=-mx²+4m的頂點坐標（0，8），矩形ABCD的頂點B、C在x軸上，A、D在拋物線上，矩形ABCD在拋物線與x軸所圍成的封閉圖形內(nèi)．
（I）求二次函數(shù)f（x）的解析式；
（II）設點A的坐標為（x，y），試求矩形ABCD的周長p關(guān)于自變量x的函數(shù)解析式，并求出自變量x的取值范圍；
（III）是否存在這樣的矩形ABCD，使它的面積為8？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由題意直接利用待定系數(shù)法求解即可：y=-2x²+8；
（2）根據(jù)解析式和圖可表示出AD和AB，再表示出矩形ABCD的周長p與自變量x的函數(shù)關(guān)系，求出x的范圍；
（3）先假設存在，再由（2）表示出矩形的面積，再求導、臨界點，以及對應的單調(diào)區(qū)間，再求出矩形面積的范圍，再進行判斷即可．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=-mx²+4m的頂點坐標為（0，8），
∴4m=8，即m=2，
則二次函數(shù)的解析式為：f（x）=-2x²+8，
（2）設點A（x，y），由圖得：0＜x＜2，
∵點A在拋物線y=-2x²+8上
∴y=-2x²+8，則AD=2y=-4x²+16，AB=2x，
∴=2（AD+AB）=2（2x-4x²+16）=-8x²+4x+32（0＜x＜2）
（3）假設存在這樣的矩形ABCD，使它的面積為8，
由（2）得，S=AD•AB=2x（-4x²+16）=-8x³+32x，且0，
∴S′=-24x²+32，由-24x²+32=0得，x=±

2 3

3

，
當0＜x＜

2 3

3

時，S′＞0；當

2 3

3

＜x＜2時，S′＜0，
∴S在（0，

2 3

3

）上遞增，在（

2 3

3

，2）上遞減，
則當x=

2 3

3

時，矩形的面積取到最大值為s=

128 3

9

＞8，
∵當x=0時，S=0；當x=2時，S=0＜8，
∴S∈（0，

128 3

9

]
故存在這樣的矩形ABCD，使它的面積為8．

點評：本題考查的二次函數(shù)與幾何矩形相結(jié)合的應用，導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、最值的關(guān)系，比較綜合，此題算是中檔題，考點還是比較基礎(chǔ)的．