Question

已知函數(shù)f（x）=elnx，g（x）=e^-1•f（x）-（x+1）．（e=2.718…）
（1）求函數(shù)g（x）的極大值；
（2 ）求證：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)(n∈N*)；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）與h（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，b，使得f（x）≤kx+b和h（x）≥kx+b都成立，則稱直線y=kx+b為函數(shù)f（x）與h（x）的“分界線”．設(shè)函數(shù)h(x)=

1

2

x2，試探究函數(shù)f（x）與h（x）是否存在“分界線”？若存在，請(qǐng)加以證明，并求出k，b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）對(duì)于含有對(duì)數(shù)函數(shù)的函數(shù)的極值問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究，故先求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，通過解不等式令g′（x）＞0解決．
（2）由題意得：“l(fā)nx≤x-1，（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立）”，令t=x-1得：t≥ln（t+1），取t=

1

n

(n∈N*)，原問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)數(shù)列問題解決．
（3）設(shè)F(x)=h(x)-f(x)=

1

2

x2-elnx(x＞0)，原問題轉(zhuǎn)化為研究此函數(shù)的單調(diào)性問題，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決．

解答：解：（Ⅰ）∵g(x)=

1

e

•f(x)-(x+1)=lnx-(x+1)，∴g′(x)=

1

x

-1(x＞0)．（1分）
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令g′（x）＜0，解得：x＞1，（2分）
∴函數(shù)g（x）在（0，1）上遞增，（1，+∞）上遞減，∴g（x）_極大=g（1）=-2．（4分）
（Ⅱ）證明：由（1）知x=1是函數(shù)g（x）極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，∴g（x）≤g（1）=-2，
即lnx-（x+1）≤-2?lnx≤x-1，（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立）（5分）
令t=x-1得：t≥ln（t+1），取t=

1

n

(n∈N*)，
則

1

n

＞ln(1+

1

n

)=ln(

n+1

n

)，（7分）
∴1＞ln2，

1

2

＞ln

3

2

，

1

3

＞ln

4

3

，

1

n

＞ln(

n+1

n

)，
迭加得1+

1

2

+

1

3

++

1

n

＞ln[2•

3

2

•

4

3

n+1

n

]=ln(n+1)（8分）
（Ⅲ）設(shè)F(x)=h(x)-f(x)=

1

2

x2-elnx(x＞0)，
則F′(x)=x-

e

x

=

x2-e

x

=

(x+ e )(x- e )

x

．
∴當(dāng)0＜x＜

e

時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，函數(shù)F（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞

e

時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)F（x）單調(diào)遞增．
∴x=

e

是函數(shù)F（x）的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，∴F(x)min=F(

e

)=

1

2

e
∴函數(shù)f（x）與h（x）的圖象在x=

e

處有公共點(diǎn)(

e

，

1

2

e)．（9分）
設(shè)f（x）與h（x）存在“分界線”且方程為：y-

1

2

e=k(x-

e

)．
令函數(shù)u(x)=kx+

1

2

e-k

e

，
ⅰ）由h(x)≥u(x)?

1

2

x2≥kx+

1

2

e-k

e

在x∈R恒成立，
即x2-2kx-e+2k

e

≥0在R上恒成立，
∴△=4k2+4e-8k

e

=4(k-

e

)2≤0成立，
∴k=

e

，故u(x)=

e

x-

1

2

e．（11分）
ⅱ）下面再證明：f(x)≤u(x)?elnx≤

e

x-

1

2

e(x＞0)恒成立．
設(shè)φ(x)=elnx-

e

x+

1

2

e，則φ′(x)=

e

x

-

e

=

e- e x

x

．
∴當(dāng)0＜x＜

e

時(shí)，φ′（x）＞0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞

e

時(shí)，φ′（x）＜0．函數(shù)φ（x）單調(diào)遞減．
∴x=

e

時(shí)φ（x）取得最大值0，則φ(x)≤

e

x-

1

2

e（x＞0）成立．（13分）
綜上ⅰ）和ⅱ）知：f(x)≤

e

x-

1

2

e且h(x)≥

e

x-

1

2

e，
故函數(shù)f（x）與h（x）存在分界線為y=

e

x-

1

2

e，此時(shí)k=

e

，b=-

1

2

e．（14分）
另解：令f（x）=h（x），則

1

2

x2=elnx，探究得兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)為(

e

，

1

2

e)，
設(shè)存在“分界線”且為：y-

1

2

e=k(x-

e

)，令函數(shù)u(x)=kx+

1

2

e-k

e

，
再證：h（x）-u（x）≥0恒成立；f（x）-u（x）≤0恒成立證法同上�。┖廷ⅲ�

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，研究函數(shù)的最值問題．考查應(yīng)用所學(xué)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問題的能力，建立函數(shù)式、解方程、不等式、最大值等基礎(chǔ)知識(shí)