Question

已知函數(shù)(其中a,b為實常數(shù))。
（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
（Ⅱ）當(dāng)時，函數(shù)有三個不同的零點，證明：：
（Ⅲ）若在區(qū)間上是減函數(shù)，設(shè)關(guān)于x的方程的兩個非零實數(shù)根為，。試問是否存在實數(shù)m,使得對任意滿足條件的a及t恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（I）當(dāng)a=0時，f(x)的增區(qū)間為(-∞，+∞)；
當(dāng)a>0時，f(x)的增區(qū)間為(-∞，0)，(a，+∞)；f(x)的減區(qū)間為(0，a)；
當(dāng)a<0時，f(x)的增區(qū)間為(-∞，a)，(0，+∞)；f(x)的減區(qū)間為(a，0)．
（II）-a<b<a³-a．（III）存在實數(shù)m滿足條件，此時m∈[]．

試題分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)，對參數(shù)a進行討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（II）確定f（x）的極大值為f（0）=a+b，f（x）的極小值為f（a）=a+b-a³，要使f（x）有三個不同的零點，則f(0)＞0，f(a)＜0，從而得證；
（III）先確定|x₁-x₂|=，并求得其最小值，假設(shè)存在實數(shù)m滿足條件，則m²+tm+1≤（）_min，即m²+tm+1≤4，即m²+tm-3≤0在t∈[-1，1]上恒成立，從而可求m的范圍．
解：（I）∵ ，
當(dāng)a=0時，≥0，于是在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)a>0時，x∈(0，a)，，得在(0，a)上單調(diào)遞減；
x∈(-∞，0)∪(a，+∞)，，得在(-∞，0)，(a，+∞)上單調(diào)遞增；
當(dāng)a<0時，，，得在(0，a)上單調(diào)遞減；
x∈(-∞，a)∪(0，+∞)，得在(-∞，a)，(0，+∞)上單調(diào)遞增．
綜上所述：當(dāng)a=0時，f(x)的增區(qū)間為(-∞，+∞)；
當(dāng)a>0時，f(x)的增區(qū)間為(-∞，0)，(a，+∞)；f(x)的減區(qū)間為(0，a)；
當(dāng)a<0時，f(x)的增區(qū)間為(-∞，a)，(0，+∞)；f(x)的減區(qū)間為(a，0)．……3分
（II）當(dāng)a>0時，由（I）得f(x)在(-∞，0)，(a，+∞)上是增函數(shù)，f(x)在(0，a)上是減函數(shù)；則f(x)的極大值為f(0)=a+b，f(x)的極小值為f(a)=a+b-a³．
要使f(x)有三個不同的零點，則  即可得-a<b<a³-a．…8分
（III）由2x³-3ax²+a+b=x³-2ax²+3x+a+b，得x³-ax²-3x=0即x(x²-ax-3)=0，
由題意得x²-ax-3=0有兩非零實數(shù)根x₁，x₂，則x₁+x₂=a，x₁x₂=-3，
即.∵ f (x)在[1，2]上是減函數(shù)，
∴ ≤0在[1，2]上恒成立，
其中x-a≤0即x≤a在[1，2]上恒成立，∴ a≥2．∴ ≥4．
假設(shè)存在實數(shù)m滿足條件，則m²+tm+1≤()_min，即m²+tm+1≤4，即m²+tm-3≤0在t∈[-1，1]上恒成立，
∴     解得．
∴ 存在實數(shù)m滿足條件，此時m∈[]． …………………14分
點評：解決該試題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的正負對于函數(shù)單調(diào)性的影響得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間，進而分析極值問題，以及構(gòu)造函數(shù)的思想求證函數(shù)的最值，解決恒成立問題的運用。