Question

如圖，平行六面體ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD=60°，則當的值為多少時，能使A₁C⊥平面C₁BD？

Answer 1

解析：設=a，=b，=c，

由已知|a|=|b|，

·=(a+ b+ c)(a-b)=|a|²-|b|²+a·c-b·c=|a||c|·cos60°-|b||c|·cos60°=0，

∴CA₁⊥BD.

因而A₁C⊥平面C₁BD的充要條件是CA₁⊥C₁D.

由⊥·=(a+ b+ c)·(a-c)=0|a|²+a·b-b·c-|c|²=0?|a|²+|a|·|b|·cos60°-|b|·|c|·cos60°-|c|²=0(3|a|+2|c|)·(|c|-|a|)=0.

∵|a|>0,|c|>0,∴|a|=|c|.

∴當=1時，A₁C⊥平面C₁BD.

溫馨提示：這是條件開放性問題，從結論出發(fā)，利用向量垂直的條件由線線垂直推出線面垂直.本題通過利用向量的幾何運算法則及向量的數(shù)量積運算大大降低了探索難度.