Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的離心率e=

2 3

3

，過A（a，0），B（0，-b）的直線到原點(diǎn)的距離是

3

2

．
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線y=kx+5（k≠0）交雙曲線于不同的點(diǎn)C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由離心率為

2 3

3

可得

c

a

=

2 3

3

①，原點(diǎn)到直線AB的距離是

3

2

，得

ab

c

=

3

2

②，由①②及c²=a²+b²可求得b，a；
（2）把y=kx+5代入x²-3y²=3中消去y，得x的二次方程，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中點(diǎn)是E（x₀，y₀），由C，D都在以B為圓心的圓上，得k_BE=

y0+1

x0

=-

1

k

，由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得k的方程，解出即可；

解答：解：∵（1）

c

a

=

2 3

3

①，原點(diǎn)到直線AB：

x

a

-

y

b

=1的距離d=

ab

a2+b2

=

ab

c

=

3

2

②，
聯(lián)立①②及c²=a²+b²可求得b=1，a=

3

，
故所求雙曲線方程為 

x2

3

-y2=1．
（2）把y=kx+5代入x²-3y²=3中消去y，整理得 （1-3k²）x²-30kx-78=0．
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），C、D的中點(diǎn)是E（x₀，y₀），
則x1+x2=

30k

1-3k2

，x0=

x1+x2

2

=

15k

1-3k2

，y₀=kx₀+5=

5

1-3k2

，k_BE=

y0+1

x0

=-

1

k

，
∴x₀+ky₀+k=0，即

15k

1-3k2

+k•

5

1-3k2

+k=0，解得k=±

7

，
故所求k=±

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程、雙曲線方程及其位置關(guān)系，考查圓的性質(zhì)，考查學(xué)生解決問題的能力．