Question

已知函數(shù)f(x)=

1-3x

1+3x

+log3

1-x

1+x

．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（3）若f（1+m）+f（m）＜0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的解析式有意義的原則，結(jié)合對數(shù)的真數(shù)部分必須大于0，我們可以構(gòu)造關(guān)于x的不等式組，解不等式組，即可得到答案．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，即可得到函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，利用作差法，我們可以判斷出函數(shù)f（x）在定義域（-1，1）上的單調(diào)性，進(jìn)而結(jié)合（2）的結(jié)論，我們可將不等式f（1+m）+f（m）＜0轉(zhuǎn)化為不等式組

1+m＞-m -1＜1+m＜1 -1＜-m＜1

，解不等式組，即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）使解析式有意義的條件為

1+3x≠0 1-x 1+x ＞0

?-1＜x＜1，
∴函數(shù)的定義域?yàn)閤∈（-1，1）（4分）
（2）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，
且f(-x)+f(x)=

1-3-x

1+3x

+log3

1+x

1-x

+

1-3x

1+3x

+log3

1-x

1+x

，（6分）

= 3x-1 3x+1 +log3 1+x 1-x + 1-3x 1+3x +log3 1-x 1+x =0+log31=0

（7分）
即f（-x）+f（x）=0
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）為奇函數(shù)                                       （8分）
（3）設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，則y2-y1=

1-3x2

1+3x2

+log3

1-x2

1+x2

-

1-3x1

1+3x1

-log3

1-x1

1+x1

（9分）

= 1-3x2 1+3x2 - 1-3x1 1+3x1 +log3 1-x2 1+x2 -log3 1-x1 1+x1 = (1-3x2)(1+3x1)-(1+3x2)(1-3x1) (1+3x2)(1+3x1) +log3 1-x2 1+x2 • 1+x1 1-x1 = 1-3x2+3x1-3x1+x2-1-3x2+3x1+3x1+x2 (1+3x2)(1+3x1) +log3 1+x1 1+x2 • 1-x2 1-x1

= 2(3x1-3x2) (1+3x2)(1+3x1) +log3 1+x1 1+x2 • 1-x2 1-x1 ∵-1＜x1＜x2＜1 ∴3x1-3x2＜0， 1+x1 1+x2 ＜1， 1-x2 1-x1 ＜1， log3 1+x1 1+x2 • 1-x2 1-x1 ＜0 ∴y2-y1＜0

所以f（x）在（-1，1）上為減函數(shù)，（12分）
又∵f（1+m）+f（m）＜0
∴f（1+m）＜-f（m）f（1+m）＜f（-m）
⇒

1+m＞-m -1＜1+m＜1 -1＜-m＜1

⇒-

1

2

＜m＜0．（14分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性，是對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中（3）中利用（2）中函數(shù)奇偶性的結(jié)論及（3）中函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，將抽象不等式f（1+m）+f（m）＜0轉(zhuǎn)化為不等式組

1+m＞-m -1＜1+m＜1 -1＜-m＜1

是解答本題的關(guān)鍵．