Question

（本小題滿分14分）已知數列中，，，其前項和滿足.令.
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）若，求證：（）；
（Ⅲ）令（），求同時滿足下列兩個條件的所有的值：①對于任意正整數，都有；②對于任意的，均存在，使得時，.

Answer 1

（Ⅰ）由題意知即……1′
∴
……2′
檢驗知、時，結論也成立，故.…………3′
（Ⅱ）由于
故
.…………6′
（Ⅲ）（�。┊�時，由（Ⅱ）知：，即條件①滿足；又，
∴.
取等于不超過的最大整數，則當時，.…9′
（ⅱ）當時，∵，，∴，∴.
∴.
由（�。┲�存在，當時，，
故存在，當時，，不滿足條件. …12′
（ⅲ）當時，∵，，∴，∴.
∴.
取，若存在，當時，，則.
∴矛盾. 故不存在，當時，.不滿足條件.
綜上所述：只有時滿足條件，故.…………14′

同答案