證明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n
＞
n+2
2
（n∈N，n≥2）．
分析：用數(shù)學歸納法證明：
（1）檢驗n=2時，不等式成立，
（2）假設(shè)n=k時，不等式成立，
在此基礎(chǔ)上推證 n=k+1 時，不等式也成立，
從而說明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n
＞
n+2
2
（n∈N，n≥2）成立．
注意 n=k+1 時不等式左邊 比n=k時的左邊多出了2k項：（
1
2k+1
+
1
2k+2
+…+
1
2k+2k
）
解答：解：（1）當n=2時，不等式左邊=1+
1
2
+
1
3
+
1
4
=
25
12
，不等式右邊=
4
2
=2，不等式成立，
（2）假設(shè)n=k時，不等式成立，即 1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2k
＞
k+2
2
成立，
則 1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2k
+（
1
2k+1
+
1
2k+2
+…+
1
2k+2k
）＞
k+2
2
+（
1
2k+1
+
1
2k+1
+…+
1
2k+1
）=
k+2
2
+（
2k
2k+1
）
=
k+2
2
+
1
2
=
k+3
2

∴n=k+1時，不等式也成立
綜合（1）、（2）知，1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n
＞
n+2
2
（n∈N，n≥2）成立．
點評：注意：（1）證 n=k+1時，不等式成立，要應用假設(shè)
（2）n=k+1 時，不等式左邊 比n=k時的左邊多出了2k項：（
1
2k+1
+
1
2k+2
+…+
1
2k+2k
）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

用數(shù)學歸納法證明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n-1
＜n（n＞1）．在驗證n=2時成立，左式是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•武漢模擬）已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-ax在x=-
1
2
處的切線的斜率為1．
（Ⅰ）求a的值及f（x）的最大值；
（Ⅱ）證明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln（n+1）（n∈N*）；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=b（ex-x），若f（x）≤g（x）恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)n∈N*，n＞1，用數(shù)學歸納法證明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞
n
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•豐臺區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=lnx，g(x)=ax+
b
x
，兩函數(shù)圖象的交點在x軸上，且在該點處切線相同．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求證：當x＞1時，f（x）＜g（x）成立；
（Ⅲ）證明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln(n+1)（n∈N*）．

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