已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，若對一切實數(shù)x，f（x）≥f′（x）恒成立，其中f′（x）是f（x）的導函數(shù)．
（I）求證：f（x）的圖象與x軸無交點；
（II）若方程f（x）-2f′（x）=0有兩上不同的實數(shù)根x1，x2，求證：數(shù)學公式．

解：（I）∵f′（x）=2ax+b 于是f（x）-f′（x）=ax2+（b-2a）x+c-b
∵對于一切實數(shù)x，都有f（x）≥f′（x）恒成立，
故a＞0且△1=（b-2a）2-4a（c-b）=b2-4ac+4a2≤0，
于是b2-4ac-4a2＜0，
所以f（x）的圖象與x軸無交點．
（II）證明：∵f（x）-2f′（x）=ax2+（b-4a）x+c-2b=0有兩個不同的實數(shù)根x1，x2，
故△2=（b-4a）2-4a（c-2b）=b2-4ac+16a2＞0，從而-16，
有根與系數(shù)的關系知：，
∴|x1-x2|2=（x1+x2）2-4x1x2=，于是0＜|x1-x2|2≤12，
即|x1-x2|．
分析：（I）由題意因為二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，若對一切實數(shù)x，f（x）≥f′（x）恒成立，所以先求二次函數(shù)導函數(shù)，然后有二次函數(shù)求出恒成立時，f（x）的圖象與x軸無交點；
（II）先求出函數(shù)的導函數(shù)，因為方程f（x）-2f′（x）=0有兩上不同的實數(shù)根x1，x2，等價于對應的二次函數(shù)的判別式大于0，利用根與系數(shù)的關系即可．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)，一元二次方程，一元二次不等式，導數(shù)的應用等基本知識，同時考查運算能力以及數(shù)形結合，函數(shù)思想等數(shù)學思想方法．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經過原點，且滿足f（2）=0，求實數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）設函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結論給出證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經過原點，求f（x）的解析式．

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