Question

如圖，在三棱臺ABC-A₁B₁C₁中，CA，CB，CC₁兩兩垂直且長度相等，B₁C₁=

1

2

BC，D為BB₁中點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，且BE=

1

4

BA，
（Ⅰ）求證：DE∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）設(shè)二面角B₁-AB-C的大小為θ，求tgθ；
（Ⅲ）若AC=2，求點(diǎn)C到平面ABB₁的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）過D作DF⊥BC于點(diǎn)F（或取BC的四等分點(diǎn)）先證明平面EFD∥平面ACC₁A₁，從而得ED∥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）由（Ⅰ）過F作FG⊥BA于G，連GD證明∠FGD=θ，在Rt△DFG中解得tgθ=2

2

．
（Ⅲ）由V_C-ABB1=V_A-CBB1  解得C到平面ABB₁的距離為

4

3

．

解答：解：（Ⅰ）過D作DF⊥BC于點(diǎn)F（或取BC的四等分點(diǎn)），所以FD∥C₁C，
所以C₁C∥平面ACC₁A₁．
又因?yàn)镋為AB上一點(diǎn)，且BE=

1

4

BA，
所以EF∥AC，
所以EF平面ACC₁A₁．
所以平面EFD∥平面ACC₁A₁，
又因?yàn)镋D?平面EFD，
所以ED∥平面ACC₁A₁（4分）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）過F作FG⊥BA于G，連GD，
由題意可得：FD⊥平面ABC，
所以AB⊥平面FDG，
所以GD⊥AB，
所以可得∠FGD=θ，
因?yàn)镋為AB上一點(diǎn)，且BE=

1

4

BA，
所以點(diǎn)F為線段BC的四等分點(diǎn)，
所以FD=

2 AC

8

．
因?yàn)镈為BB₁中點(diǎn)，所以DF=

1

2

C₁C=

1

2

AC．
所以在Rt△DFG中，解得tgθ=

FD

FG

=2

2

（4分）
（Ⅲ）由題意可得：V_A--CBB1=

1

3

×S△CB1B×C1C =

4

3

．
因?yàn)锳C=2，所以AB=2

2

，B₁B=

5

，AB₁=3，
所以由正弦定理與余弦定理可得：S_△AB1B=3．
由V_C-ABB1=V_A--CBB1可得：C到平面ABB₁的距離為

4

3

．（4分）

點(diǎn)評：本題考查用線面平行的判定定理證明線面平行，以及求二面角的平面角，而空間角解決的關(guān)鍵是做角，由圖形的結(jié)構(gòu)及題設(shè)條件正確作出平面角來，是求角的關(guān)鍵，以及考查利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離．