已知條件p:|x-1|>a(a≥0)和條件q:lg(x2-3x+3)>0,
(1)求滿足條件p,q的不等式的解集.
(2)分別利用所給的兩個(gè)條件作為A,B構(gòu)造命題:“若A,則B”,問是否存在非負(fù)實(shí)數(shù)a使得構(gòu)造的原命題為真命題,而其逆命題為假命題,若存在,求出a的取值范圍.若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)分別利用絕對值不等式及對數(shù)不等式的解法,求解滿足條件p,q的不等式的解集即可;
(2)對于存在性問題,可先假設(shè)存在,即假設(shè)存在非負(fù)實(shí)數(shù)a符合題意,再必有p⇒q成立,反之不然,求出a的取值范圍,若出現(xiàn)矛盾,則說明假設(shè)不成立,即不存在;否則存在.
解答:解:(1)由條件p得:|x-1|>a,
∴x<1-a或x>1+a.
∴滿足條件p的解集A={x|x<1-a或x>1+a}…(3分)
由條件q得:x2-3x+3>1即x2-3x+2>0,
∴x<1或x>2,∴滿足條件q的解集B={x|x<1或x>2}…(6分)
(2)存在.假設(shè)存在非負(fù)實(shí)數(shù)a符合題意,則必有p⇒q成立,反之不然.
∴A?B,則1-a≤1,且1+a≥2即a≥1.
∴存在非負(fù)實(shí)數(shù)a符合題意,此時(shí)a的取值范圍是[1,+∞)…(12分)
點(diǎn)評:本題考查不等式的解法,必要條件、充分條件與充要條件的判斷,考查計(jì)算能力,轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.