Question

（2007•東城區(qū)一模）設A，B分別是直線y=

2 5

5

x和y=-

2 5

5

x上的兩個動點，并且|

AB

|=

20

，動點P滿足

OP

=

OA

+

OB

．記動點P的軌跡為C．
（I） 求軌跡C的方程；
（Ⅱ）若點D的坐標為（0，16），M、N是曲線C上的兩個動點，且

DM

=λ

DN

，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（ I） 設P（x，y），A(x1，

2 5

5

x1)，B(x2，-

2 5

5

x2)．由

OP

=

OA

+

OB

，知

x=x1+x2 y= 2 5 5 (x1-x2)

，

x1+x2=x x1-x2= 5 2 y

，由|

AB

|=

20

，知(x1-x2)2+

4

5

(x1+x2)2=20．由此能求出曲線C的方程．
（ II） 設N（s，t），M（x，y），則由

DM

=λ

DN

，可得（x，y-16）=λ （s，t-16）．故x=λs，y=16+λ （t-16）．由M、N在曲線C上，知

s2 25 + t2 16 =1 λ2s2 25 + (λt-16λ+16)2 16 =1.

由此能求出實數λ的取值范圍．

解答：解：（ I） 設P（x，y），
為A、B分別為直線y=

2 5

5

x和y=-

2 5

5

x上的點，
故可設A(x1，

2 5

5

x1)，B(x2，-

2 5

5

x2)．
∵

OP

=

OA

+

OB

，
∴

x=x1+x2 y= 2 5 5 (x1-x2)

，
∴

x1+x2=x x1-x2= 5 2 y

，…（4分）
又|

AB

|=

20

，
∴(x1-x2)2+

4

5

(x1+x2)2=20．…（5分）
∴

5

4

y2+

4

5

x2=20．　
即曲線C的方程為

x2

25

+

y2

16

=1．…（6分）
（ II） 設N（s，t），M（x，y），
則由

DM

=λ

DN

，
可得（x，y-16）=λ （s，t-16）．
故x=λs，y=16+λ （t-16）．…（8分）
∵M、N在曲線C上，
∴

s2 25 + t2 16 =1 λ2s2 25 + (λt-16λ+16)2 16 =1.

…（10分）
消去s得  

λ2(16-t2)

16

+

(λt-16λ+16)2

16

=1．
由題意知λ≠0，且λ≠1，
解得t=

17λ-15

2λ

．…（12分）
又|t|≤4，
∴|

17λ-15

2λ

|≤4．
解得  

3

5

≤λ≤

5

3

（λ≠1）．
故實數λ的取值范圍是

3

5

≤λ≤

5

3

（λ≠1）．…（14分）

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點，容易出錯．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．