Question

已知函數(shù)f（x）=

-x3+x2+bx+c，(x＜1) alnx，(x≥1)

的圖象過點（-1，2），且在點（-1，f（-1））處的切線與直線x-5y+1=0垂直．
（1）求實數(shù)b，c的值；
（2）求f（x）在[-1，e]（e為自然對數(shù)的底數(shù)）上的最大值；
（3）對任意給定的正實數(shù)a，曲線y=f（x）上是否存在兩點P，Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？

Answer 1

分析：（1）求出x＜1時的導函數(shù)，令f（-1）=2，f′（x）=-5，解方程組，求出b，c的值．
（2）分段求函數(shù)的最大值，利用導數(shù)先求出-1≤x＜1時的最大值；再通過對a的討論，判斷出1≤x≤e時函數(shù)的
單調(diào)性，求出最大值，再從兩段中的最大值選出最大值．
（3）設(shè)點P的橫坐標為m（不妨設(shè)m＞0），則由題意可得點Q的橫坐標為-m，且-m＜0．由題意可得OP⊥OQ，
即K_0P•K_OQ=-1．分0＜m＜1和m≥1兩種情況，分別檢驗，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）由題意可得，當x＜1時，f′（x）=-3x²+2x+b，f′（-1）=-3-2+b=b-5．
由（ b-5 ）（

1

5

）=-1，可得b=0，故 f（x）=-x³+x²+c．
把點（-1，2）代入求得 c=0．
綜上可得b=0，c=0．
（2）由以上可得 

-x3+x2(x＜1) alnx(x≥1)

，當-1≤x＜1時，f′（x）=-x（3x-2）．
 解f′（x）＞0得0＜x＜

2

3

．解f′（x）＜0得1≥x＞

2

3

或x＜0．
∴f（x）在（-1，0）和（

2

3

，1）上單調(diào)遞減，在（0，

2

3

）上單調(diào)遞增，
從而f（x）在x=

2

3

處取得極大值為f（

2

3

）=

4

7

．
又∵f（-1）=2，f（1）=0，∴f（x）在[-1，1）上的最大值為2．
當1≤x≤e時，f（x）=alnx，當a≤0時，f（x）≤0．
當a＞0時，f（x）在[1，e]單調(diào)遞增；∴f（x）在[1，e]上的最大值為a．
∴a≥2時，f（x）在[-1，e]上的最大值為a；當a＜2時，f（x）在[-1，e]上的最大值為2．
（3）設(shè)點P的橫坐標為m（不妨設(shè)m＞0），則由題意可得點Q的橫坐標為-m，且-m＜0．
當0＜m＜1時，點P（m，-m³+m²），點 Q（-m，m³+m²），由K_0P•K_OQ=-1，可得
（-m²+m）（-m²-m）=-1，m無解．
當m≥1時，點P（m，alnm），點 Q（-m，m³+m²），由K_0P•K_OQ=-1，可得

alnm

m

•（-m²-m）=-1，即 alnm=

1

m+1

．由于a為正實數(shù)，故存在大于1的實數(shù)m，滿足方程 alnm=

1

m+1

．
故曲線y=f（x）上存在兩點P，Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上．

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，曲線對應的函數(shù)在切點處的導數(shù)值為切線的斜率；求分段函數(shù)的性質(zhì)時應該分段去求體現(xiàn)了分類討論和等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于難題．