Question

過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右頂點A作斜率為-1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B，C，若A，B，C三點的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，則雙曲線的離心率為（　　）

• A．

  3

• B．

  5

• C．

  10

• D．

  13

Answer 1

分析：根據(jù)題意雙曲線右頂點為A（a，0），所以直線y=-x+a與y=±

b

a

x交于B、C兩點，求出B、C的橫坐標(biāo)再根據(jù) A、B、C三點的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，建立關(guān)于a、b的等式解出b=3a，算出c=

10

a可得此雙曲線的離心率．

解答：解：經(jīng)過雙曲線的右頂點A作斜率為-1的直線，直線方程為y=-x+a
∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線為y=±

b

a

x
∴直線y=-x+a與漸近線的交點橫坐標(biāo)分別為x_B=

a 2

a-b

，x_C=

a 2

a+b

∵A，B，C三點的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，
∴（

a 2

a-b

）²=a•

a 2

a+b

，化簡整理，解得b=3a
∵c=

a2+b2

=

10

a，
∴雙曲線的離心率e=

c

a

=

10

故選：C

點評：本題給出雙曲線滿足的條件，求雙曲線的離心率．著重考查了直線的交點坐標(biāo)、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．