Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，已知BD＝2AD＝2PD＝8，AB＝2DC＝4．

（Ⅰ）設M是PC上一點，證明：平面MBD⊥平面PAD；

（Ⅱ）若M是PC的中點，求棱錐P－DMB的體積．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）要證明平面平面，只需證明一個平面過另一個平面的垂線，因為M是PC上一點，不確定，故證明平面,顯然易證；（Ⅱ）求棱錐P－DMB的體積，直接求，底面面積及高都不好求，但注意到棱錐P－DMB是棱錐P－DＣB除去一個小棱錐Ｍ－DＣB而得到，而這兩個棱錐的體積都容易求，值得注意的是，當一個幾何體的體積不好求時，可進行轉化成其它幾何體來求．

試題解析：（I）證明：在中，由于，所以．故。又平面平面平面，所以平面,又平面，故平面平面；

(II)過作于是的中點,，．

考點：本小題考查面面垂直的判定、線面垂直的判定，面面垂直的性質定理應用；，以及棱錐的體積公式，考查學生的化歸與轉化能力以及空間想象能力．