x，y，z為非負(fù)數(shù)，且x+y+z=1，求證：yz+zx+xy≤9xyz．
分析：先對x，y，z中有0時(shí)進(jìn)行驗(yàn)證滿足條件；當(dāng)x，y，z都非零時(shí)，一定有xyz＞0成立，故可得到
yz+zx+xy
9xyz
=
1
9x
+
1
9y
+
1
9z
=（
1
9
+
1
9
+
1
9
）+（
y
9x
+
x
9y
）+（
z
9x
+
x
9z
）+（
z
9y
+
y
9z
），再根據(jù)均值不等式可得證．
解答：證明：當(dāng)x，y，z中有1個(gè)或2個(gè)是0時(shí)，不等式成立；
當(dāng)x，y，z都是正數(shù)時(shí)，xyz＞0，
所以
yz+zx+xy
9xyz
=
1
9x
+
1
9y
+
1
9z
=
x+y+z
9x
+
x+y+z
9y
+
x+y+z
9z

=（
1
9
+
1
9
+
1
9
）+（
y
9x
+
x
9y
）+（
z
9x
+
x
9z
）+（
z
9y
+
y
9z
）
≥
1
3
+2×
1
9
+2×
1
9
+2×
1
9
=1（當(dāng)x=y=z=
1
3
時(shí)等號成立）
∴yz+zx+xy≤9xyz
得證．
點(diǎn)評：本題主要考查均值不等式的應(yīng)用．均值不等式在不等式的證明以及求解范圍時(shí)應(yīng)用比較廣泛，占據(jù)非常重要的地位，要熟練掌握．
練習(xí)冊系列答案
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9、某個(gè)命題的結(jié)論為“x，y，z三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)為正數(shù)”，現(xiàn)用反證法證明，假設(shè)正確的是 （　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

某個(gè)命題的結(jié)論為“x，y，z三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)為正數(shù)”，現(xiàn)用反證法證明，假設(shè)正確的是 （　�。�
A．假設(shè)三個(gè)數(shù)都是正數(shù)
B．假設(shè)三個(gè)數(shù)都為非正數(shù)
C．假設(shè)三個(gè)數(shù)至多有一個(gè)為負(fù)數(shù)
D．假設(shè)三個(gè)數(shù)中至多有兩個(gè)為非正數(shù)

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某個(gè)命題的結(jié)論為“x，y，z三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)為正數(shù)”，現(xiàn)用反證法證明，假設(shè)正確的是 （ ）
A．假設(shè)三個(gè)數(shù)都是正數(shù)
B．假設(shè)三個(gè)數(shù)都為非正數(shù)
C．假設(shè)三個(gè)數(shù)至多有一個(gè)為負(fù)數(shù)
D．假設(shè)三個(gè)數(shù)中至多有兩個(gè)為非正數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：浙江省期末題 題型：單選題

某個(gè)命題的結(jié)論為“x，y，z三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)為正數(shù)”，現(xiàn)用反證法證明，假設(shè)正確的是
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A．假設(shè)三個(gè)數(shù)都是正數(shù)
B．假設(shè)三個(gè)數(shù)都為非正數(shù)
C．假設(shè)三個(gè)數(shù)至多有一個(gè)為負(fù)數(shù)
D．假設(shè)三個(gè)數(shù)中至多有兩個(gè)為非正數(shù)

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