Question

要使函數(shù)y=1+2^x+a•4^x在（x∈（-∞，1]）有y＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（-

3

4

，+∞）

．

Answer 1

分析：使用換元令t=2^x，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)y=1+t+at²進(jìn)行求解．

解答：解：設(shè)t=2^x，因?yàn)閤∈（-∞，1]，所以0＜t≤2．
則原函數(shù)等價(jià)為y=1+t+at²，要使y＞0恒成立，即y=1+t+at²＞0，所以a＞

-1-t

t2

=-(

1

t

)2-

1

t

．
設(shè)f(t)=-(

1

t

)2-

1

t

，則f(t)=-(

1

t

)2-

1

t

=-(

1

t

+

1

2

)2+

1

4

，因?yàn)?＜t≤2，所以

1

t

≥

1

2

，
所以y=-(

1

t

+

1

2

)2+

1

4

≤-(

1

2

+

1

2

)2+

1

4

=-

3

4

，所以a＞-

3

4

．
故答案為：（-

3

4

．，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的最值問(wèn)題，通過(guò)換元，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，是解決本題的關(guān)鍵，對(duì)應(yīng)不等式恒成立問(wèn)題通常是轉(zhuǎn)化為含參問(wèn)題恒成立，即求函數(shù)的最值問(wèn)題．