Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分，和三種情況，討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而可得到函數(shù)的單調(diào)性；

（2）由（1）知時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，可得，，整理可得，不等式可化為，結(jié)合可得到，令上述不等式等價(jià)于當(dāng)時(shí)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)并討論單調(diào)性，使其最小值大于0即可求出答案.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

，

①若，則，顯然，所以在單調(diào)遞減；

②若，由得，此時(shí)，

由得；

由得.

即在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間和單調(diào)遞減；

③若，，

則在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減.

（2）由（1）知時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，，是方程的兩個(gè)根，，，

∴

，

所以原不等式等價(jià)于，

又，∴，

即，

令，上述不等式可化為，當(dāng)時(shí)，恒成立.

設(shè)，則，

令，則，

當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，

所以時(shí)，.

①當(dāng)即時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，符合題意；

②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，記，

則時(shí)，時(shí)，

即時(shí)單調(diào)遞減，所以存在，使，不合題意，

綜上所述：.