如圖，設P是拋物線C1：x2=y上的動點．過點P做圓C2：x2+（y+3）2=1的兩條切線，交直線l：y=-3于A，B兩點。
（1）求C2的圓心M到拋物線C1準線的距離；
（2）是否存在點P，使線段AB被拋物線C1在點P處的切線平分？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。
解：（1）由題意可知，拋物線C1的準線方程為：
所以圓心M到拋物線C1準線的距離為；
（2）設點P的坐標為（x0，x02），拋物線C1在點P處的切線交直線l于點D
再設A，B，D的橫坐標分別為
過點P（x0，x02）的拋物線C1的切線方程為：  （1）
當時，過點P（1，1）與圓C2的切線PA為：
可得
所以
設切線PA，PB的斜率為，則
   （2）
  （3）
將分別代入（1），（2），（3），得

從而
又
即
同理
所以是方程的兩個不相等的根，從而
，
因為
所以，即
從而
進而得
綜上所述，存在點P滿足題意，點P的坐標為（，）。
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，P是拋物線C：x2=2y上一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，直線l過點P且與拋物線交于另一點Q，已知P（x1，y1），Q（x2，y2）．
（1）若l經(jīng)過點F，求弦長|PQ|的最小值；
（2）設直線l：y=kx+b（k≠0，b≠0）與x軸交于點S，與y軸交于點T
①求證：
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=|b|(
1
y1
+
1
y2
)
②求
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，斜率為1的直線過拋物線Ω：y2=2px（p＞0）的焦點F，與拋物線交于兩點A，B，
（1）若|AB|=8，求拋物線Ω的方程；
（2）設C為拋物線弧AB上的動點（不包括A，B兩點），求△ABC的面積S的最大值；
（3）設P是拋物線Ω上異于A，B的任意一點，直線PA，PB分別交拋物線的準線于M，N兩點，證明M，N兩點的縱坐標之積為定值（僅與p有關）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本題滿分12分）

如圖，斜率為1的直線過拋物線的焦點F，與拋物線交于兩點A，B。

   （1）若|AB|=8，求拋物線的方程；

   （2）設C為拋物線弧AB上的動點（不包括A，B兩點），求的面積S的最大值；

   （3）設P是拋物線上異于A，B的任意一點，直線PA，PB分別交拋物線的準線于M，N兩點，證明M，N兩點的縱坐標之積為定值（僅與p有關）

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科目：高中數(shù)學 來源：山東省棗莊市2010屆高三年級調研考試數(shù)學（文科）試題 題型：解答題

（本題滿分12分）
如圖，斜率為1的直線過拋物線的焦點F，與拋物線交于兩點A，B。
（1）若|AB|=8，求拋物線的方程；
（2）設C為拋物線弧AB上的動點（不包括A，B兩點），求的面積S的最大值；
（3）設P是拋物線上異于A，B的任意一點，直線PA，PB分別交拋物線的準線于M，N兩點，證明M，N兩點的縱坐標之積為定值（僅與p有關）

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科目：高中數(shù)學 來源：山東省棗莊市2010屆高三年級調研考試數(shù)學（文科）試題 題型：解答題

（本題滿分12分）

如圖，斜率為1的直線過拋物線的焦點F，與拋物線交于兩點A，B。

   （1）若|AB|=8，求拋物線的方程；

   （2）設C為拋物線弧AB上的動點（不包括A，B兩點），求的面積S的最大值；

   （3）設P是拋物線上異于A，B的任意一點，直線PA，PB分別交拋物線的準線于M，N兩點，證明M，N兩點的縱坐標之積為定值（僅與p有關）

 

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