Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓C：=1的上、下頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P在橢圓C上且異于點(diǎn)A、B，直線AP、BP與直線l：y=-2分別交于點(diǎn)M、N；
（I）設(shè)直線AP、BP的斜率分別為k₁，k₂求證：k₁•k₂為定值；
（Ⅱ）求線段MN長的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，以MN為直徑的圓是否經(jīng)過某定點(diǎn)？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由橢圓方程求出兩個頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線AP、BP的斜率k₁，k₂，結(jié)合P的坐標(biāo)適合橢圓方程可證結(jié)論；
（Ⅱ）分別求出M和N點(diǎn)的坐標(biāo)，由（Ⅰ）中的結(jié)論得到兩直線斜率間的關(guān)系，把|MN|用含有一個字母的代數(shù)式表示，然后利用基本不等式求最值；
（Ⅲ）設(shè)出以MN為直徑的圓上的動點(diǎn)Q的坐標(biāo)，由列式得到圓的方程，化為圓系方程后聯(lián)立方程組可求解圓所過定點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：（Ⅰ）證明：由題設(shè)橢圓C：=1可知，點(diǎn)A（0，1），B（0，-1）．
令P（x，y），則由題設(shè)可知x≠0．
∴直線AP的斜率，PB的斜率為．
又點(diǎn)P在橢圓上，所以，從而有=；
（Ⅱ）解：由題設(shè)可得直線AP的方程為y-1=k₁（x-0），
直線PB的方程為y-（-1）=k₂（x-0）．
由，解得；
由，解得．
∴直線AP與直線l的交點(diǎn)N（），直線PB與直線l的交點(diǎn)M（）．
∴|MN|=||，又．
∴|MN|=||=．
等號成立的條件是，即．
故線段MN長的最小值為．
（Ⅲ）解：以MN為直徑的圓恒過定點(diǎn)或．
事實(shí)上，設(shè)點(diǎn)Q（x，y）是以MN為直徑圓上的任意一點(diǎn)，則，
故有．
又．所以以MN為直徑圓的方程為．
令，解得或．
所以以MN為直徑的圓恒過定點(diǎn)或．
點(diǎn)評：本題考查了直線的斜率，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了代入法，考查了利用基本不等式求最值，考查了圓系方程，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是有一定難度題目．