如圖：四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD是正三角形，且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，PB∥平面EAC．
（1）求征：PE=ED；
（2）若AD=AB，求二面角A-PC-D的大�。�
分析：（1）連接BD交AC于O，連接EO，則O為BD的中點，利用PB∥平面EAC，可得線線平行，從而可得PE=ED．
（2）在PC上取點M使得PM=
1
4
PC，連接AM，證明∠AME為二面角A-PC-D的平面角，在Rt△AEM中，即可求二面角A-PC-D的大�。�
解答：解：（1）連接AC，交BD于點O，連接EO，
∵PB∥平面EAC，EO?平面EAC，EO?平面PDB，
∴EO∥PB，
∵四棱錐P-ABCD的底面是矩形，
∴O是AC的中點，
∴E是PD的中點，
∴PE=ED．
（2）解：在PC上取點M使得PM=
1
4
PC．
由于正三角形PAD及矩形ABCD，且AD=AB，所以PD=AD=AB=DC
所以在等腰直角三角形DPC中，EM⊥PC，
連接AM，因為AE⊥平面PCD，所以AM⊥PC．
所以∠AME為二面角A-PC-D的平面角．
在Rt△AEM中，tan∠AME=
AE
ME
=
3
2
1
2
×
2
2
=
6
．
即二面角A-PC-D的正切值為
6
．
∴二面角A-PC-D的大小為arctan
6
．
點評：本題主要考查線面平行，線面垂直的證明方法．二面角的基本求法．考查學(xué)生的空間想象能力，識圖的能力，嚴(yán)密的邏輯思維能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大�。划�(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

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