Question

已知橢圓的離心率為，點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C的左，右焦點(diǎn)，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓與直線(xiàn) x-y+=0相切．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)F₂的直線(xiàn)l與橢圓C相交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)，求使△F_l MN面積最大時(shí)直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由離心率為，得，根據(jù)圓與直線(xiàn)相切可得，再由a²=b²+c²聯(lián)立可解得a，b；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l的方程為x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立直線(xiàn)l方程與橢圓方程消掉x得y的二次方程，則=，代入韋達(dá)定理即可得關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式，恰當(dāng)變形后，利用函數(shù)單調(diào)性求得其最大值及相應(yīng)m值；
解答：解：（I）由題意得，解得，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（Ⅱ）由題意可設(shè)直線(xiàn)l的方程為x=my+1，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則點(diǎn)M、N的坐標(biāo)是方程組的兩組解，
消掉x得，（3m²+4）y²+6my-9=0，所以，
所以=
====3（當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取等號(hào)），
所以當(dāng)m=0時(shí)，S_△ABC取最大值，此時(shí)直線(xiàn)l的方程為x=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)方程、橢圓方程及直線(xiàn)和橢圓、圓的位置關(guān)系，考查三角形面積公式，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力．