Question

【題目】數(shù)列a1 ， a2 ， …，an是正整數(shù)1，2，…，n的任一排列，且同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：
①a1=1；②當(dāng)n≥2時(shí)，|ai﹣ai+1|≤2（i=1，2，…，n﹣1）．
記這樣的數(shù)列個(gè)數(shù)為f（n）．
（ 1）寫(xiě)出f（2），f（3），f（4）的值；
（ 2）證明f（2018）不能被4整除．

Answer 1

【答案】解：（1）根據(jù)題意，①a1=1；②當(dāng)n≥2時(shí)，|ai﹣ai+1|≤2（i=1，2，…，n﹣1）；

則f（2）=1，

f（3）=2，

f（4）=4．

（2）證明：把滿足條件①②的數(shù)列稱為n項(xiàng)的首項(xiàng)最小數(shù)列．

對(duì)于n個(gè)數(shù)的首項(xiàng)最小數(shù)列，由于a1=1，故a2=2或3．

①若a2=2，則a2﹣1，a3﹣1，…，an﹣1構(gòu)成n﹣1項(xiàng)的首項(xiàng)最小數(shù)列，其個(gè)數(shù)為f（n﹣1）；

②若a2=3，a3=2，則必有a4=4，故a4﹣3，a5﹣3，…，an﹣3構(gòu)成n﹣3項(xiàng)的首項(xiàng)最小數(shù)列，其個(gè)數(shù)為f（n﹣3）；

③若a2=3，則a3=4或a3=5．設(shè)ak+1是這數(shù)列中第一個(gè)出現(xiàn)的偶數(shù)，則前k項(xiàng)應(yīng)該是1，3，…，2k﹣1，ak+1是2k或2k﹣2，即ak與ak+1是相鄰整數(shù)．

由條件②，這數(shù)列在ak+1后的各項(xiàng)要么都小于它，要么都大于它，因?yàn)?在ak+1之后，故ak+1后的各項(xiàng)都小于它．

這種情況的數(shù)列只有一個(gè)，即先排遞增的奇數(shù)，后排遞減的偶數(shù)．

綜上，有遞推關(guān)系：f（n）=f（n﹣1）+f（n﹣3）+1，n≥5．

由此遞推關(guān)系和（ I）可得，f（2），f（3），…，f（2018）各數(shù)被4除的余數(shù)依次為：

1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，…

它們構(gòu)成14為周期的數(shù)列，又2018=14×144+2，

所以f（2018）被4除的余數(shù)與f（2）被4除的余數(shù)相同，都是1，

故f（2018）不能被4整除

【解析】（1）利用列舉法求函數(shù)f（2），f（3），f（4）的值；（2）根據(jù)所給條件列出函數(shù)f（n）前幾個(gè)值，進(jìn)而得到函數(shù)值的特點(diǎn)，再根據(jù)特點(diǎn)進(jìn)行證明命題.