Question

設函數(shù)f(x)＝x3－x2＋6x－a.

(1)對于任意實數(shù)x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；

(2)若方程f(x)＝0有且僅有一個實根，求a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）－（2）(－∞，2)∪

【解析】(1)f′(x)＝3x2－9x＋6，

因為x∈R時，f′(x)≥m，

即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，

所以Δ＝81－12(6－m)≤0，得m≤－，

故m的最大值為－.

(2)由(1)知，f′(x)＝3(x－1)(x－2)，當x＜1時，f′(x)＞0；

當1＜x＜2時，f′(x)＜0；當x＞2時，f′(x)＞0.

所以當x＝1時，f(x)取極大值f(1)＝－a；

當x＝2時，f(x)取極小值f(2)＝2－a；

故當f(2)＞0或f(1)＜0時，方程f(x)＝0僅有一個實根．

解得a＜2或a＞.

∴ 實數(shù)a的取值范圍是(－∞，2)∪.